Пусть прямоугольный треугольник с катетами $a,b$ и гипотенузой $c$ (правый угол в вершине $C$). Обозначим полупериметр $s=\frac{a+b+c}{2}$, площадь $S=\frac{ab}{2}$, вписанный радиус $r$ и внешние радиусы (исключные) $r_a,r_b,r_c$ противоположные вершинам $A,B,C$.
1) Формула для вписанного радиуса и простое доказательство:
$$r=\frac{S}{s}=\frac{\frac{ab}{2}}{\frac{a+b+c}{2}}=\frac{ab}{a+b+c}.$$ В прямоугольном случае это эквивалентно
$$r=\frac{a+b-c}{2},$$ так как $(a+b-c)(a+b+c)=(a+b{)}^2-c^2=2ab$.
2) Координатное представление (удобно при решениях расстояний). Положим $C=(0,0)$, $A=(a,0)$, $B=(0,b)$. Тогда биссектор правого угла лежит на прямой $y=x$, расстояние от центра вписанной окружности до каждой стороны равно $r$, поэтому
$$I=(r,r).$$ Окружность, описанная, имеет центр (середина гипотенузы)
$$O=M=(\frac{a}{2},\frac{b}{2}),R=\frac{c}{2}.$$
3) Внешние радиусы (по общей формуле $r_{\ast }=\frac{S}{s-s_{\ast }}$):
$$r_a=\frac{ab}{b+c-a},r_b=\frac{ab}{a+c-b},r_c=\frac{ab}{a+b-c}.$$ В частности с учётом $a+b-c=2r$ получаем
$$r_c=\frac{ab}{2r}.$$
4) Удобные тождества (полезные при вычислениях):
- Произведение вписанного радиуса и внешнего радиуса, противоположного прямому углу:
$$r\cdot r_c=\frac{ab}{2}=S.$$ Действительно $r\cdot r_c=\frac{ab}{a+b+c}\cdot \frac{ab}{a+b-c}=\frac{a^2{b}^2}{(a+b{)}^2-c^2}=\frac{a^2{b}^2}{2ab}=\frac{ab}{2}$.
- Общая формула Эйлера для расстояния между центром описанной и вписанной окружностей:
$$O{I}^2=R(R-2r).$$ В нашем случае $O=M$ и $R=\frac{c}{2}$, значит
$$M{I}^2=\frac{c}{2}(\frac{c}{2}-2r)=\frac{c(c-4r)}{4}.$$ С координат также легко получить
$$M{I}^2=(\frac{a}{2}-r{)}^2+(\frac{b}{2}-r{)}^2,$$ что при подстановке $r=\frac{ab}{a+b+c}$ даёт то же значение.
5) Расстояния от центра вписанной окружности до вершин (быстро через координаты):
$$IA=\sqrt{(a-r{)}^2+r^2},IB=\sqrt{r^2+(b-r{)}^2},IC=\sqrt{r^2+r^2}=r\sqrt{2}.$$ Эти формулы часто упрощают задачи на расстояния в прямоугольном треугольнике (подставить $r$ в через $a,b,c$).
6) Симметрии и практические применения:
- В прямоугольном треугольнике центр вписанной окружности лежит на биссекторе правого угла и имеет координаты $(r,r)$ при ориентации катетов по осям — это даёт простые выражения расстояний до вершин и середины гипотенузы.
- Тождество $r=\frac{ab}{a+b+c}$ связывает радиус с катетами и гипотенузой и часто позволяет заменить неизвестный радиус выражением через стороны или наоборот.
- Связь $r\cdot r_c=S$ даёт быстрый способ найти один радиус по другому или по площади.
- Формула Эйлера $O{I}^2=R(R-2r)$ позволяет получать расстояния между центрами окружностей без громоздких вычислений.
Заключение (рекомендация по упрощению задач). При задачах на расстояния и радиусы в прямоугольном треугольнике первым хорошим шагом является выбор системы координат с катетами на осях — тогда $I=(r,r)$, $M=(a/2,b/2)$, $r=\frac{ab}{a+b+c}$. Используя эти простые выражения и приведённые тождества (особенно $r\cdot r_c=S$ и Эйлера), многие расстояния и радиусы вычисляются в одну-две подстановки.