Предположим три разные непересекающиеся прямые в плоскости — значит они попарно параллельны. Положим в подходящей системе координат их уравнения $y=a<y=b<y=c$. Для точки $(x,y)$ сумма расстояний до этих прямых зависит только от $y$:
$$S(y)=|y-a|+|y-b|+|y-c|.$$
Разбивая по интервалам по положению $y$, получаем явный кусочно-аффинный вид:
$$\begin{array}{rl}y\le a:& S=(a+b+c)-3y,\\ a\le y\le b:& S=-a+b+c-y,\\ b\le y\le c:& S=-a-b+c+y,\\ y\ge c:& S=3y-(a+b+c).\end{array}$$
Из этого следует:
- Минимум $S$ достигается в точке $y=b$ и равен
$$S_{\min }=S(b)=c-a.$$ - Для заданной константы $k$ решение уравнения $S(y)=k$ существует только при $k\ge c-a$.
- Если $k<c-a$ — геометрическое место пусто.
- Если $k=c-a$ — единственная линия: $y=b$ (серединная из трёх заданных).
- Если $k>c-a$ — уравнение даёт ровно два значения $y$ (одно левее $b$, другое правее $b$), и, соответственно, геометрическое место — две прямые, параллельные заданным. Координаты этих прямых находятся из явных формул, получаемых из кусочно-аффинных выражений (например, для $y\le a$ из $(a+b+c)-3y=k$ даётся $y=(a+b+c-k)/3$, и т.д.; подходящую формулу берут тот кусок, в который попадает корень).
Классы кривых и обобщение: для трёх параллельных прямых уровень суммы расстояний — либо 0,1 или 2 прямые (полные, параллельные заданным). Более общо, для трёх произвольных прямых (не обязательно параллельных) плоскость разбивается на не более чем 7 полос/областей, в каждой области знаки расстояний к прямым фиксированы, поэтому сумма является аффинной функцией координат и её уровни в каждой области — прямые. Следовательно общее геометрическое место — объединение (кусочных отрезков/лучей/целых прямых) нескольких прямых. Таким образом уровни суммы расстояний к прямым принадлежат классу кусочно-линейных множеств (в частных случаях — одному или двум параллельным прямым).