Формулировка (одна из естественных обобщённых версий Пифагора для многоугольников).
Пусть выпуклый n‑угольник P разбит невзаимопересекающимися диагоналями на q квадрилатералов Q1,…,Qq (внутренние диагонали разбиения — это рёбра квадрилатералов). Предположим дополнительно, что в каждом квадрилатерале Qi его диагонали перпендикулярны. Тогда:
1) По областям:
$$\mathrm{Area}(P)=\frac{1}{2}\sum _{i=1}^q{d}_{i,1}{d}_{i,2},$$ где $d_{i,1},d_{i,2}$ — длины двух диагоналей квадрилатерала $Q_i$.
2) По квадратам длин сторон (аналог суммы квадратов катетов = квадрат гипотенузы): для каждого квадрилатерала $Q_i=ABCD$ с перпендикулярными диагоналями $AC\perp BD$ справедливо
$$A{B}^2+B{C}^2+C{D}^2+D{A}^2=A{C}^2+B{D}^2.$$ Суммируя это равенство по всем квадрилатералам разбиения, получаем тождество, связывающее сумму квадратов сторон исходного многоугольника и квадраты диагоналей, возникающих в квадрилатералах (см. примечание ниже о подсчёте каждой грани/диагонали).
Когда такое разложение возможно.
- Разбиение на квадрилатералы без треугольников возможно только при чётном $n$: в неперекрывающемся разбиении на многогранники с вершинами среди вершин n‑угольника количество квадрилатералов $q$ удовлетворяет $2q=n-2$, поэтому $n$ чётно и $q=(n-2)/2$.
- Дополнительное требование «диагонали каждого квадрилатерала перпендикулярны» накладывает геометрические ограничения на фигуру; оно не всегда выполняется для произвольного выпуклого чётного n‑угольника. Иначе говоря, структура разбиения (какие диагонали проводят) и геометрическое расположение вершин должны быть такими, чтобы в каждой образовавшейся четырёхугольной ячейке диагонали были перпендикулярны. Таким образом, необходимое условие: $n$ — чётно и существует некrossing разбиение на $q=(n-2)/2$ четырёхугольников; но это лишь комбинаторное условие — геометрическое достижимость требует дополнительных уравнений (перпендикулярности) и обычно проверяется в конкретном случае.
Доказательство (кратко).
1) Одна ячейка. Для произвольного выпуклого четырёхугольника $ABCD$ площадь равна сумме площадей двух треугольников, получающихся при разбиении диагоналями: если $AC\perp BD$, то каждая диагональ — высота для треугольников с основанием другой диагональю, и потому
$$\mathrm{Area}(ABCD)=\frac{1}{2}AC\cdot BD.$$ Кроме того, в этом случае по координатному (векторному) расчёту или по квадратичной формуле для диагоналей получаем
$$A{B}^2+B{C}^2+C{D}^2+D{A}^2=A{C}^2+B{D}^2.$$ (Доказательство: поместим одну вершину в начало координат, одну диагональ вдоль оси x, другую вдоль оси y; затем вычислить квадраты расстояний и просуммировать.)
2) Суммирование по ячейкам. Разобьём P на квадрилатералы $Q_i$. Площадь P — это сумма площадей ячеек, поэтому, используя формулу для каждой ячейки,
$$\mathrm{Area}(P)=\sum _{i=1}^q\mathrm{Area}(Q_i)=\sum _{i=1}^q\frac{1}{2}{d}_{i,1}{d}_{i,2}=\frac{1}{2}\sum _{i=1}^q{d}_{i,1}{d}_{i,2}.$$ Это и есть утверждение (1).
Аналогично, суммируя равенства квадратов для всех ячеек получаем тождество, в котором грани, являющиеся внутренними рёбрами разбиения, появляются с кратностью 2 (они принадлежат двум соседним ячейкам), а ребра границы — с кратностью 1; справа суммируются квадраты диагоналей каждого четырёхугольника. Это даёт подробную связь между суммой квадратов сторон исходного многоугольника и суммой квадратов диагоналей, появляющихся в ячейках (в конкретной форме она зависит от того, какие именно отрезки считаются «диагоналями ячеек» и какие — внутренними рёбрами разбиения).
Итоговая формула по площадям (наиболее чистая и используемая): если выпуклый n‑угольник допускает разбиение на $q=(n-2)/2$ четырёхугольников с перпендикулярными диагоналями, то его площадь равна половине суммарных произведений диагоналей этих четырёхугольников:
$$\mathrm{Area}(P)=\frac{1}{2}\sum _{i=1}^{(n-2)/2}{d}_{i,1}{d}_{i,2}.$$
Примечание. Для частного случая $n=4$ это возвращает классическую теорему: в выпуклом четырёхугольнике с перпендикулярными диагоналями сумма квадратов сторон равна сумме квадратов диагоналей, и площадь равна половине произведения диагоналей.