Задача — минимизировать функционал
$$F(P)=\sum _{i=1}^3{k}_i|P{A}_i|,k_i>0,P\in △ABC.$$
Существование и единственность
- $F$ непрерывна и коэрцитивна на замкнутом выпуклом множестве (внутренности и границы треугольника), поэтому минимум существует.
- При положительных весах и неположенно вырожденных вершинах (точки не коллинеарны) функционал строго выпуклый, поэтому минимум единственен. При коллинеарности минимизирующее множество может быть отрезком.
- Внутренний критический пункт удовлетворяет уравнению равновесия сил (векторному условию)
$$\sum _{i=1}^3{k}_i\frac{P-A_i}{|P-A_i|}=0.$$ Если это уравнение не имеет решения внутри треугольника, то минимум достигается в одной из вершин. Критерий того, что оптимум в вершине, например в $A_1$:
k1≥∣ k2A2−A1∣A2−A1∣+k3A3−A1∣A3−A1∣∣. k_1\ge\left|\,k_2\frac{A_2-A_1}{|A_2-A_1|}+k_3\frac{A_3-A_1}{|A_3-A_1|}\right|.
k1 ≥ k2 ∣A2 −A1 ∣A2 −A1 +k3 ∣A3 −A1 ∣A3 −A1 .
Условие существования внутреннего решения (геометрический критерий)
- Внутреннее решение существует тогда и только тогда, когда длинны весов удовлетворяют неравенствам треугольника:
$$k_i<k_j+k_{\ell }\text{для всех}\{i,j,\ell \}=\{1,2,3\}.$$ В этом случае векторы длины $k_i$ могут «замкнуться» в треугольник, что даёт возможный ненулевой векторный баланс.
Методы численного решения
- Обобщённый алгоритм Вайсфельда (Weiszfeld) для весов $k_i$:
$$P^{(n+1)}=\frac{{\sum }_{i=1}^3\frac{k_i{A}_i}{|P^{(n)}-A_i|}}{{\sum }_{i=1}^3\frac{k_i}{|P^{(n)}-A_i|}}.$$ Алгоритм сходится к глобальному минимуму при условии, что итерация не попадает точно на одну из вершин; при попадании — эта вершина является решением (обрабатывать отдельно).
- Градиентные методы: решать $\nabla F(P)=\sum k_i\frac{P-A_i}{|P-A_i|}=0$ методом Ньютона/градиентного спуска; нужно избегать особых точек (приближение к вершинам).
- Мировые (глобальные) методы: имитация отжига, прямой перебор/сетка для грубой инициализации, затем локальная оптимизация. Для трёх точек задача размерно мала — Weiszfeld обычно эффективен и быстрый.
Геометрические конструкции и связь с задачей Ферма—Торричелли
- Классическая задача Ферма—Торричелли — частный случай при $k_1=k_2=k_3$. При равных весах, если все углы треугольника меньше $120^{\circ }$, оптимальная точка (точка Ферма) даёт углы $120^{\circ }$ между лучами к вершинам; если какой‑то угол $\ge 120^{\circ }$, оптимум в соответствующей вершине.
- Обобщение (взвешенный случай): постройте эталонный треугольник $T$ со сторонами пропорциональными $k_1,k_2,k_3$. Обозначьте углы этого треугольника напротив сторон $k_i$ через ${\varphi }_i$. Тогда в внутреннем решении у точки $P$ должны быть углы между лучами к вершинам
$$\angle (P{A}_j,P{A}_{\ell })={\varphi }_i\text{(угол напротив стороны}{k}_i).$$ Геометрическая конструкция: в каждой вершине $A_i$ отложить внутрь треугольника два луча, между которыми угол равен ${\varphi }_i$ (так, чтобы эти лучи ориентировались к соответствующим соседним вершинам); три таких луча пересекутся в искомой точке $P$, если внутреннее решение существует. Это даёт классическую геометрическую интерпретацию уравнения векторов как «замыкания» трёх векторов длины $k_i$.
- Если одна из неравенств треугольника для $k_i$ не выполнена (например $k_1\ge k_2+k_3$), то конструкция даёт, что оптимум в $A_1$ (аналог ситуации с углом $\ge 120^{\circ }$ в классе Ферма).
Краткое резюме
- Существование: всегда; уникальность: при положительных весах и неколлинеарных вершинах — единственное решение.
- Внутреннее решение эквивалентно векторному балансу $\sum k_i{u}_i=0$ (где $u_i$ — единичные векторы $P{A}_i$). Оно существует тогда и только тогда, когда веса удовлетворяют неравенствам треугольника. В противном случае минимум достигается в некоторой вершине.
- Практика: для вычисления — Weiszfeld (обобщённый) или методы Ньютона; для геометрической интерпретации — построить треугольник весов и восстановить углы в точке по соответствию углов.
Если нужно, могу привести подробную пошаговую геометрическую построение с рисунком или пример реализации Weiszfeld‑алгоритма.