Пусть эллипс задан уравнением $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ с фокусами $F_1(c,0)$ и $F_2(-c,0)$, где $c^2=a^2-b^2$. Рассмотрим произвольную хорду $PQ$ эллипса, проходящую через $F_1$. Пусть прямая $PQ$ имеет угловой коэффициент $k$, тогда её уравнение
$$y=k(x-c).$$ Пересечение этой прямой с эллипсом даёт квадратное уравнение по $x$; если корни — $x_1,x_2$, то сумма корней равна
$$x_1+x_2=\frac{2a^2{k}^{2}c}{b^2+a^2{k}^2}.$$ Тогда координаты середины $M$ хорды $PQ$ равны
$$X=\frac{x_1+x_2}{2}=\frac{a^2{k}^{2}c}{b^2+a^2{k}^2},Y=\frac{y_1+y_2}{2}=k(X-c)=-\frac{k{b}^{2}c}{b^2+a^2{k}^2}.$$
Исключая $k$ из этих выражений (например, через соотношение $X/Y=-\frac{a^{2}k}{b^2}$) получаем уравнение геометрического места точек $M(X,Y)$:
$$b^2(X-c/2{)}^2+a^2{Y}^2=\frac{b^2{c}^2}{4}.$$ Это — эллипс, центр которого в точке $\left(\frac{c}{2},0\right)$ (середина отрезка между центром исходного эллипса и фокусом $F_1$), полувеликaя ось по $x$-оси равна $\frac{c}{2}$, полумалая ось по $y$-оси равна $\frac{bc}{2a}$. В каноническом виде:
$$\frac{(X-c/2{)}^2}{(c/2{)}^2}+\frac{Y^2}{(bc/(2a){)}^2}=1.$$
Короткое замечание об оптике. Оптическое свойство эллипса: лучи, исходящие из одного фокуса, после отражения от эллипса проходят через другой фокус. Для хорды $PQ$, проходящей через $F_1$, лучи $F_{1}P$ и $F_{1}Q$ отражаются в направлении $F_2$. Середины таких хорд оказываются симметрично распределёнными и образуют описанный внутренний эллипс — алгебраическое следствие симметрии углов отражения при движении луча через различные точки концов хорд. Иначе: при изменении направления прямой через $F_1$ концы хорд заполняют эллипс, а их середины — внутренний эллипс, полученный выше; это отражает то, что отражённые лучи всегда проходят через фиксированный второй фокус.