Краткий ответ: при свободном выборе положений вершин оптимум даёт выпуклый правильный $n$-угольник. Для фиксированной площади $A$ его периметр
$$P_{\min }(n)=2\sqrt{n\tan \frac{\pi }{n}A},$$ и для любых простых $n$-угольников справедливо неравенство
$$P^2\ge 4n\tan \frac{\pi }{n}A,$$ равенство достигается только для правильного $n$-угольника. При $n\to \infty$ это стремится к классической изопериметрической величине круга $P=2\sqrt{\pi A}$.
Краткое пояснение доказательства (эскиз):
- Сначала можно показать, что для фиксированного набора длин сторон максимальная площадь достигается у циклического (вписанного в окружность) многоугольника.
- При фиксированном периметре среди циклических многоугольников площадь максимальна, когда все стороны равны (используют выпуклость/непрерывность функции площади через центральные углы или неравенство Йенсена).
- Эти два шага дают, что при фиксированной площади периметр минимален для регулярного $n$-угольника и приводят к приведённой формуле.
Как меняется решение при ограничениях на положение вершин:
- Если вершины должны лежать на данной окружности, оптимум — правильный $n$-угольник, вписанный в эту окружность.
- Если вершины ограничены границей другого (несферического) выпуклого множества, оптимальная конфигурация будет касательно «распределять» вершины по границе; в общем случае она не будет правильной и зависит от геометрии границы (симметричные области дают более равномерное распределение).
- Если вершины должны принадлежать дискретному набору (например, целочисленная решётка), задача становится комбинаторной; оптимальные фигуры приближают правильный $n$-угольник, но дискретность может приводить к существенной деформации и множеству локальных минимумов.
- Если некоторые вершины фиксированы, оптимизация по оставшимся даёт выпуклую фигуру, старающуюся «распределить» свободные вершины равномерно в рамках ограничений; в общем случае решение теряет регулярность.
- В любых случаях выпуклость оптимального решения сохраняется: для данного множества ограничений замена невыпуклой фигуры на её выпуклую оболочку не увеличит площадь при том же или меньшем периметре, поэтому минимум достигается выпуклым многоугольником (если это совместимо с ограничениями).
Итог: без дополнительных геометрических ограничений — правильный выпуклый $n$-угольник; при ограничениях — решение нарушает правильность и определяется геометрией допустимой области или дискретностью положения вершин.