Кратко сформулирую результат и приведу короткие доказательные схемы (все формулы в виде KaTeX).
Обозначения. Пусть дан вписанный (в окружность радиуса $R$) $n$-угольник $A_1{A}_2\dots A_n$ (номерование вдоль окружности). За $P$ возьмём периметр
$$P=\sum _{i=1}^n|A_i{A}_{i+1}|,A_{n+1}=A_1.$$ За $D$ — сумму длин всех диагоналей, исходящих из вершины $A_1$ (то есть от $A_1$ к невседним соседним вершинам):
$$D=\sum _{k=3}^{n-1}|A_1{A}_k|.$$
1) Выпуклый (обычный вписанный, простой) случай.
Утверждение: для простого вписанного (выпуклого) $n$-угольника всегда выполняется строгое неравенство
$$D<P.$$
Краткое доказательство (схема). Пусть между соседними вершинами соответствующие центральные углы (на окружности) равны ${\beta }_1,\dots ,{\beta }_n$, ${\sum }_{i=1}^n{\beta }_i=2\pi$. Тогда длины хордов выражаются через синусы:
$$|A_i{A}_{i+1}|=2R\sin \frac{{\beta }_i}{2},|A_1{A}_k|=2R\sin \frac{{\beta }_1+{\beta }_2+\cdots +{\beta }_{k-1}}{2}.$$ Функция $f(x)=\sin x$ на интервале $(0,\pi )$ выпуклая вниз (concave); для положительных аргументов имеет место оценка типа
$$\sin (x+y)<\sin x+\sin y\text{(при}x,y>0,x+y<\pi \text{)}.$$ Применяя это поочерёдно к частичным суммам $\frac{{\beta }_1+\cdots +{\beta }_{k-1}}{2}$ и складывая получаем систему строгих неравенств, из которой следует, что сумма синусов, стоящих в выражении для $D$, строго меньше суммы $\sin \frac{{\beta }_i}{2}$, стоящих в выражении для $P$. Умножая на $2R$, получаем желаемое $D<P$.
(Этот аргумент можно формализовать либо прямо через свойства синуса, либо через последовательное применение неравенства треугольника в треугольниках $A_1{A}_j{A}_{j+1}$ и суммирование; в любом случае для простого (невзаимопересекающегося) вписанного многоугольника каждое диагональное расстояние меньше соответствующего пути по стороне окружности, и суммарно получается $D<P$.)
2) Невыпуклый / самопересекающийся случай.
Утверждение: если многоугольник невыпуклый в смысле самопересечения (звёздные или иные невыпуклые вписанные ломаные), то строгого универсального сравнения «$D<P$» уже нет: возможны оба варианта — и $D<P$, и $D>P$. То есть для самопересекающегося вписанного многоугольника сумма диагоналей через вершину может превышать периметр.
Пример конструкции, дающий $D>P$. Возьмём окружность радиуса $R$, поместим одну вершину $A_1$, а остальные $n-1$ вершин сильно скученно в небольшом дуговом окне у точки, почти антиподальной $A_1$. Тогда многие хорды $A_1{A}_k$ будут почти диаметрами (почти $2R$), а стороны между «скученными» вершинами будут очень малы. При подходящем порядке соединения (чтобы образовался самопересекающийся многоугольник) суммарная длина диагоналей от $A_1$ может стать сколь угодно близкой к $(n-3)\cdot 2R$, тогда как периметр (сумма коротких соседних хордов) будет мал. Поэтому можно обеспечить $D>P$.
Замечание о крайних случаях и равенствах. Для простого выпуклого многоугольника строгое равенство $D=P$ не достигается (диагональ всегда строго меньше замкнутого пути по сторонам между её концами). В самопересекающемся случае равенство также не является общей закономерностью, но возможны как проближения, так и пересечения обоих знаков.
Итого:
- Для простого (выпуклого) вписанного $n$-угольника всегда $\sum _{k=3}^{n-1}|A_1{A}_k|<\sum _{i=1}^n|A_i{A}_{i+1}|.$ - Для невыпуклого (самопересекающегося) вписанного многоугольника универсального неравенства нет: в отдельных конфигурациях может выполняться либо $D<P$, либо $D>P$.