Кратко — серия упражнений с нарастанием идеи масштаба и инвариантов, ключевые этапы объяснения и контрольные вопросы для учителя.
Ключевые этапы объяснения (структура урока)
- Введение через рисунок и пример масштаба (набор прямоугольников/треугольников разного размера).
- Определение подобия: две фигуры подобны, если соответствующие углы равны и соответствующие стороны пропорциональны; обозначение $△ABC\sim △A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$.
- Инварианты при подобии: углы сохраняются; отношение соответствующих сторон постоянно — коэффициент масштабирования $k$: $\frac{AB}{A^{\prime }{B}^{\prime }}=\frac{BC}{B^{\prime }{C}^{\prime }}=\frac{AC}{A^{\prime }{C}^{\prime }}=k$.
- Следствия: периметры масштабируются как $k$, площади — как $k^2$. (Записать: $P^{\prime }=kP,S^{\prime }=k^{2}S$).
- Методы доказательства подобия: AA, SAS (по пропорциональности соседних сторон и включённого угла), SSS (стороны пропорциональны).
- Применения: задачи на масштаб карт/чертежей, рост по тени, масштабирование в координатах (гомотетия).
- Итог/контроль: от простого распознавания — к вычислениям $k$ — к доказательствам — к приложениям.
Серия упражнений (возрастание сложности). Для каждого — цель, формулировка, подсказка/решение в одну строку, контрольные вопросы.
1) Узнать подобие по углам (фокус: инвариант углов)
- Задача: На чертеже отмечены треугольники с равными парами углов: $\angle A=\angle A^{\prime },\angle B=\angle B^{\prime }$. Докажите, что $△ABC\sim △A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$.
- Подсказка: примените признак AA.
- Контрольные вопросы: Почему двух равных углов достаточно? Что при этом сохраняется?
2) Найти коэффициент масштабирования (фокус: вычисление $k$)
- Задача: Если $△ABC\sim △A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ и $AB=6,A^{\prime }{B}^{\prime }=9$, найдите $k$ и длину $A^{\prime }{C}^{\prime }$, если $AC=8$.
- Решение: $k=\frac{AB}{A^{\prime }{B}^{\prime }}=\frac{6}{9}=\frac{2}{3}$. Тогда $A^{\prime }{C}^{\prime }=\frac{AC}{k}=\frac{8}{2/3}=12$ (или $A^{\prime }{C}^{\prime }=\frac{AC}{k}$ в зависимости на какую сторону делим — пояснить ориентацию). Корректнее: если $k=\frac{AB}{A^{\prime }{B}^{\prime }}=\frac{2}{3}$, то $A^{\prime }{C}^{\prime }=\frac{AC}{k}=12$ при данной нотации; можно договориться $k=\frac{A^{\prime }{B}^{\prime }}{AB}$.
- Контрольные вопросы: Какое определение $k$ вы используете? Как поменяется ответ, если $k$ взять обратным?
3) Построение подобного треугольника через параллельные прямые (фокус: геометрическая конструкция масштаба)
- Задача: Постройте $△A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$, подобный данному $△ABC$, с коэффициентом $k=2$ и общей вершиной $A=A^{\prime }$.
- Подсказка: через вершину $A$ проведите лучи, на них отложите векторы с коэффициентом $2$ (параллельные соответствующим сторонам или используйте построение через параллельные прямые к $BC$).
- Контрольные вопросы: Почему параллельность сохраняет углы? Где применяется понятие «центр гомотетии»?
4) Признак SSS и SAS для подобия (фокус: доказательства по сторонам)
- Задача: Даны треугольники с длинами сторон $3,4,5$ и $6,8,10$. Докажите их подобие и найдите $k$.
- Подсказка: все соответствующие стороны пропорциональны: $k=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$ или наоборот; значит подобие по SSS.
- Контрольные вопросы: Как проверить соответствие сторон? Что будет, если только две пары сторон пропорциональны?
5) Гомотетия на координатной плоскости (фокус: масштабирование координат, ориентация)
- Задача: Точка $A(1,2)$ под действием гомотетии с центром в начале координат и коэффициентом $k=3$ переходит в $A^{\prime }$. Найдите $A^{\prime }$. Что произойдёт при $k=-2$?
- Решение: $A^{\prime }(3,6)$. При $k=-2$ точка станет в $A^{\prime }(-2,-4)$ (изменится ориентация).
- Контрольные вопросы: Как меняются координаты при гомотетии? Что значит отрицательный $k$?
6) Подобие многоугольников и отношение периметров/площадей (фокус: $P^{\prime }$ и $S^{\prime }$)
- Задача: Два подобных прямоугольника; у меньшего периметр $20$, площадь $12$, коэффициент $k=1.5$. Найдите периметр и площадь большего.
- Решение: $P^{\prime }=kP=1.5\cdot 20=30$, $S^{\prime }=k^{2}S=(1.5{)}^2\cdot 12=2.25\cdot 12=27$. (Записать в KaTeX: $P^{\prime }=kP,S^{\prime }=k^{2}S$).
- Контрольные вопросы: Почему площадь масштабируется как $k^2$? Как связаны размеры сторон и площадь?
7) Приложение: рост по тени (фокус: практическая модель схожих треугольников)
- Задача: Флагшток отбрасывает тень длиной $4$ м, рост маленького столба $1.2$ м отбрасывает тень $0.8$ м. Найдите рост флагштока.
- Решение: два прямоугольных треугольника подобны, $k=\frac{4}{0.8}=5$, значит рост флагштока $=1.2\cdot 5=6$ м. (Записать: $k=\frac{{\text{тень}}_1}{{\text{тень}}_2}$, рост $=k\cdot$рост малого).
- Контрольные вопросы: Почему углы при освещении одинаковы? Что будет, если источник света не в бесконечности?
8) Сложная задача: доказать, что медианы/высоты соответствующих треугольников пропорциональны (фокус: инварианты других отрезков)
- Задача: Доказать, что если $△ABC\sim △A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ с коэффициентом $k$, то соответствующие высоты $h$ и медианы $m$ связаны соотношением $h^{\prime }=kh,m^{\prime }=km$.
- Подсказка: высота — расстояние между параллельными прямыми, медиана — образ отрезка при гомотетии; применить гомотетию.
- Контрольные вопросы: Почему высоты и медианы масштабируются как стороны? Какие ещё отрезки сохраняют направление (параллельность)?
9) Проверочная комбинированная задача (обобщение)
- Задача: Два треугольника подобны: $△ABC$ и $△A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$. Даны $AB=7,AC=10,A^{\prime }{B}^{\prime }=14$ и площадь $△ABC=35$. Найдите $k$, $A^{\prime }{C}^{\prime }$ и площадь $△A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$.
- Решение: $k=\frac{AB}{A^{\prime }{B}^{\prime }}=\frac{7}{14}=\frac{1}{2}$ (или обратная договорённость; нужно согласовать ориентацию), тогда $A^{\prime }{C}^{\prime }=\frac{AC}{k}=20$ (если считать $k=\frac{AB}{A^{\prime }{B}^{\prime }}$ — снова пояснить); площадь $S^{\prime }=k^{-2}S$ или $k^{2}S$ в зависимости от направления масштабирования — лучше прописать: если $k=\frac{A^{\prime }{B}^{\prime }}{AB}=2$, то $A^{\prime }{C}^{\prime }=20$, $S^{\prime }=k^2\cdot 35=4\cdot 35=140$.
- Контрольные вопросы: Как однозначно определить направление коэффициента? Как избежать ошибок с обратным $k$?
Рекомендации по ведению урока и вопросы для мониторинга понимания
- На каждом этапе требуйте формулировки: «Что сохраняется при подобии?» — ответ: углы; отношение сторон одно и то же.
- Проверьте умение выбирать направление $k$: попросите учеников явно записывать $k=\frac{\text{размер новой}}{\text{размер старой}}$ или наоборот.
- Контрольные вопросы общего плана:
- Что такое коэффициент масштабирования $k$? (ответ в форме $\frac{\text{новая длина}}{\text{исходная длина}}$).
- Как связаны периметры и площади двух подобных фигур? (записать $P^{\prime }=kP,S^{\prime }=k^{2}S$).
- Перечислите признаки подобия треугольников.
- Приведите пример реальной задачи, где применима идея подобия.
- Для проверки доказательного уровня: дать задачу «докажите, что диагонали подобных параллелограммов пропорциональны» — чтобы ученики применили понятие гомотетии/параллельности.
Короткие подсказки для учителя при проверке ошибок
- Частая ошибка: путаница в направлении $k$ — всегда обозначайте явно.
- Ошибка: считать, что площади масштабируются линейно — напомнить правило $S^{\prime }=k^{2}S$.
- Ошибка: считать, что при повороте/отражении подобие нарушается — углы и пропорции сохраняются при поворотах/симметрии.
Если нужно, могу прислать распечатку с конкретными числовыми вариантами задач для контроля или тестовые задания с ответами.