Ключевая установка: рассмотрим правильный $n$-угольник вписанный в окружность радиуса $R$ (обычная нормировка). Основные асимптотики и предельные объекты:
1. Центральный угол и углы при вершинах
- центральный угол между соседними вершинами: ${\theta }_n=\frac{2\pi }{n}$.
- внутренний угол при вершине: ${\varphi }_n=\pi -\frac{2\pi }{n}$, поэтому ${\varphi }_n\to \pi$ и дефицит угла $\pi -{\varphi }_n=\frac{2\pi }{n}=O(1/n)$.
2. Длины сторон и диагоналей
- длина стороны: $s_n=2R\sin \frac{\pi }{n}\sim 2R\frac{\pi }{n}$ (точнее $s_n=2R(\pi /n+O((1/n{)}^3))$).
- диагональ между вершинами, отстоящими на $k$ шагов: $d_{n,k}=2R\sin \frac{\pi k}{n}.$ - если $k$ фиксировано при $n\to \infty$: $d_{n,k}\sim 2R\frac{\pi k}{n}=O(1/n)$.
- если отношение $t={\lim }_{n\to \infty }k/n\in (0,1/2]$ существует, то $d_{n,k}\to 2R\sin (\pi t)$ — т.е. предельная длина задаётся хордой окружности с центральным углом $2\pi t$.
- максимальная длина (при $k\approx n/2$) стремится к диаметру: $\max d_{n,k}\to 2R$.
3. Геометрические пределы (в терминах границ множеств)
- вершины: множество вершин становится плотным в окружности радиуса $R$; замыкание множества вершин = сама окружность.
- граница многоугольника (полиго́н как ломаная): в метрике Хаусдорфа граница сходится к окружности радиуса $R$.
- заполненный многоугольник (полигон как область): сходится к диску радиуса $R$.
- множество всех диагоналей (как отрезков между вершинами): замыкание при $n\to \infty$ даёт множество всех хорд окружности, а объединение всех хорд = замкнутый диск; поэтому диагонали в пределе «заполняют» диск.
4. Кривизна и распределение угловой деформации
- у многоугольника кривизна сосредоточена в вершинах (внешние углы), суммарная кривизна = $2\pi$.
- при $n\to \infty$ эта дискретная мера кривизны слабо сходится к непрерывной мере кривизны окружности: плотность кривизны $=1/R$ по длине окружности.
5. Замечания о нормировках
- приведённые предельные объекты — при фиксированном $R$. Если вместо $R$ фиксировать длину стороны $s$, то $R\sim \frac{sn}{2\pi }$ и многоугольник «раздувается» с ростом $n$ (диаметры растут как $O(n)$); в этом смысле предельные объекты зависят от нормировки.
Коротко: при $n\to \infty$ правильный $n$-угольник приближает окружность радиуса $R$; центральные углы $\sim 2\pi /n$, внутренние углы $\to \pi$, длины диагоналей для фиксированного отношения $k/n\to t$ стремятся к хордовым длинам $2R\sin (\pi t)$, а множество диагоналей заполняет диск.