Формулировка (точные условия).
- Пусть задана инверсия в окружности радиуса $R$ с центром в точке $O$ в евклидовой плоскости. Правило инверсии: каждой точке $X\ne O$ ставится в соответствие точка $X^{\prime }$ на луче $OX$ такая, что
$$OX\cdot O{X}^{\prime }=R^2.$$ - Тогда: любая прямая $l$, не проходящая через $O$, отображается при этой инверсии в окружность $\gamma$, проходящую через $O$. Обратно: любая окружность, проходящая через $O$, отображается в прямую, не проходящую через $O$. Прямая, проходящая через $O$, отображается в себя (тот же луч-прямая).
Доказательство в евклидовой геометрии (координатное, кратко).
Поставим $O$ в начало координат, пусть инверсия радиуса $R$. Прямая $l$ задаётся уравнением
$$ax+by+c=0,c\ne 0$$ (условие $c\ne 0$ эквивалентно тому, что $l$ не проходит через $O$). Точка $(x,y)\in l$ инвертируется в
$$(x^{\prime },y^{\prime })=(\frac{R^{2}x}{x^2+y^2},\frac{R^{2}y}{x^2+y^2}).$$ Инверсия инволютивна, поэтому
$$x=\frac{R^2{x}^{\prime }}{x^{\prime 2}+y^{\prime 2}},y=\frac{R^2{y}^{\prime }}{x^{\prime 2}+y^{\prime 2}}.$$ Подставим в уравнение прямой:
$$a\frac{R^2{x}^{\prime }}{x^{\prime 2}+y^{\prime 2}}+b\frac{R^2{y}^{\prime }}{x^{\prime 2}+y^{\prime 2}}+c=0.$$ Умножив на $x^{\prime 2}+y^{\prime 2}$, получаем уравнение круга:
$$c(x^{\prime 2}+y^{\prime 2})+a{R}^2{x}^{\prime }+b{R}^2{y}^{\prime }=0.$$ Это уравнение окружности (коэффициент при $x^{\prime 2}+y^{\prime 2}$ ненулевой), причём при $x^{\prime }=y^{\prime }=0$ равенство выполняется, значит окружность проходит через начало координат $O$. Координатный центр и радиус можно записать явно:
$$\text{центр}=(-\frac{a{R}^2}{2c},-\frac{b{R}^2}{2c}),{\text{радиус}}^2=\frac{(a^2+b^2)R^4}{4c^2}.$$ Обратно: если окружность проходит через $O$, её уравнение имеет вид $x^2+y^2+ux+vy=0$. Подстановка $x=\frac{R^2{x}^{\prime }}{x^{\prime 2}+y^{\prime 2}}$ и т. п. даёт линейное уравнение для $(x^{\prime },y^{\prime })$, т. е. прямую, не проходящую через $O$. Это завершает евклидовое доказательство.
Краткое замечание о конформности и общей формулировке.
Инверсия переводит «обобщённые окружности» (линия либо окружность) в «обобщённые окружности», причём правило: круг(без прохождения центра)↦круг(без прохождения центра), круг(через центр)↦прямая, прямая(через центр)↦прямая, прямая(не через центр)↦круг(через центр). Это следует также из аналитического вывода и из того, что инверсия конформна и инволютивна.
Доказательство в сферической геометрии (через стереографическую проекцию / мёбиусово представление).
- На сфере S^2 под «прямой» обычно понимают велике-круг (great circle). Рассмотрим точку $V$ — «центр инверсии» на сфере. Определим сферическую инверсию как отображение, получаемое так: сделать стереографическую проекцию сферы на плоскость, выбрав точку проекции так, чтобы образ $V$ был конечной точкой плоскости; выполнить евклидову инверсию в плоскости с центром в образе $V$; затем вернуть результат на сферу обратной стереографической проекцией. Такая композиция — мёбиусово отображение сферы, и под ней круги сферы переводятся в круги сферы (принимая «линию» как частный случай круга через точку проекции).
- Теперь: велике-круг на сфере, не содержащий $V$, при выбранной стереографической проекции переходит в обычную окружность в плоскости, не проходящую через образ $V$. По евклидовому доказательству эта окружность при инверсии с центром в образ $V$ переходит в окружность плоскости, проходящую через образ $V$. Обратно под обратной стереографической проекцией это даёт на сфере окружность, проходящую через $V$. То есть сферическая инверсия переводит велике-круг, не содержащий $V$, в круг на сфере, проходящий через $V$.
- Обратное и прочие частные случаи (велике-круг через $V$ ↔ остаётся велике-кругом или переходит в себя/особый случай) аналогично трактуются через соответствие «прямая ↔ окружность через точку проекции».
Таким образом, и в евклидовой, и в сферической геометрии верно: прямая (велике-круг), не проходящая через центр инверсии, переходит при инверсии в окружность, проходящую через центр инверсии; обратное тоже выполняется (окружность через центр ↔ прямая).