Кратко: пусть все треугольники имеют общую высоту $h$ к некоторой прямой $\ell$. Тогда база длины $b$ определяется площадью, а вершины образуют одну или две прямые, параллельные $\ell$, на расстоянии $h$ от неё (по обе стороны), при условии существования треугольника; иначе решений нет.
Пояснение и расчёт.
1) Пусть база $AB$ лежит на прямой $\ell$. Из площади
$$S=\frac{1}{2}bh$$ получаем
$$b=\frac{2S}{h}.$$
2) Из периметра $P$ имеем
$$AV+BV=P-b=:s.$$ Для фиксированных фокусов $A,B$ множество точек $V$ с $AV+BV=s$ — эллипс с фокусами $A,B$. Пересечение этого эллипса с прямой ${\ell }^{\prime }$, параллельной $\ell$ на расстоянии $h$, даёт ноль, одну или две точки (симметричные относительно середины $AB$).
3) При смещении отрезка $AB$ вдоль $\ell$ (его середина переносится) фокусы сдвигаются параллельно, а уравнение для смещения вершины относительно середины отрезка не меняется: для $u=x-x_0$ выполняется
$$\sqrt{(u+\frac{b}{2}{)}^2+h^2}+\sqrt{(u-\frac{b}{2}{)}^2+h^2}=s,$$ то есть допустимые значения $u$ фиксированы. Поэтому, изменяя положение $AB$, точки $V$ сдвигаются параллельно и в сумме дают всю прямую ${\ell }^{\prime }$ (и симметричную ей с другой стороны $\ell$), при условии что уравнение имеет решение.
4) Условие существования решения: минимальное значение суммы расстояний при $u=0$ равно
$$2\sqrt{(\frac{b}{2}{)}^2+h^2}=2\sqrt{(\frac{S}{h}{)}^2+h^2}.$$ Следовательно необходимо и достаточно
$$s\ge 2\sqrt{(\frac{S}{h}{)}^2+h^2},\text{где}s=P-b=P-\frac{2S}{h}.$$ Альтернативная форма:
$$(hP-2S{)}^2\ge 4(S^2+h^4).$$
Итог (класс решений и геометрическая интерпретация):
- Если не выполняется указанное неравенство — треугольников с заданными $P,S,h$ нет.
- Если выполняется строгое неравенство — множества вершин (для всех возможных положений базы) заполняют две прямые, параллельные $\ell$, на расстоянии $h$ по обе стороны.
- При равенстве — для каждого положения базы вершина единственна, но меняя положение базы получаем одну (две если считать обе стороны) прямую(ые) на расстоянии $h$.
(Все формулы выше — в обозначениях $P$ — периметр, $S$ — площадь, $h$ — общая высота.)