Коротко о том, что обычно понимают под «вписанным» и «описанным» круговым конусом над данным многоугольником и как от формы многоугольника зависят радиус основания и высота конуса.
1) Что такое «вписанный» и «описанный» конус (интерпретация).
- Описанный (окружающий) круговой конус над многоугольником: боковая поверхность конуса проходит через все вершины многоугольника; сечение плоскостью основания (плоскостью многоугольника) конуса обычно даёт окружность, на которой лежат вершины — значит многоугольник должен быть вписан в эту окружность (циркулируемым). Радиус такого основания = радиус окружности, проходящей через вершины (если существует).
- Вписанный (внутренний) круговой конус над многоугольником: боковая поверхность конуса касается всех сторон многоугольника; в сечении в плоскости многоугольника это окружность, касающаяся всех сторон — т.е. многоугольник должен быть вписан в эту окружность (иметь вписанную окружность). Радиус основания = радиус вписанной окружности (если существует).
2) Радиус основания в терминах многоугольника.
- Для многоугольника, имеющего вписанную окружность (т.н. тангенциальный), её радиус $r$ выражается через площадь $S$ и полупериметр $p$ (или периметр $P$):
$$r=\frac{2S}{P}=\frac{S}{p}.$$ - Для многоугольника, имеющего описанную окружность (т.н. цикличный), радиус описанной окружности $R$ вычисляется по разным формулам в частных случаях; для треугольника, например,
$$R=\frac{abc}{4S},$$ для правильного $n$-угольника со стороной $a$ $$R=\frac{a}{2\sin (\pi /n)},r=\frac{a}{2\tan (\pi /n)}.$$
3) Высота конуса и её связь с радиусом основания и углом при вершине.
- Для кругового (правого или наклонного) конуса апекс находится на некотором расстоянии $h$ от плоскости основания; если обозначить угол между осью конуса и образующей через вершину как $\theta$ (полу-угол при вершине), то радиус основания $\rho$ и высота связаны соотношением
$$\rho =h\tan \theta \text{или}h=\rho \cot \theta .$$ Таким образом для фиксированной формы многоугольника радиус базы задан (если имеются описанная/вписанная окружности), а высота зависит от выбранного угла $\theta$ (положения вершины по нормали к плоскости).
- Если дополнительно требовать минимальную/максимальную высоту при заданном угле или наоборот, это сводится к выбору точки апекса на перпендикуляре к плоскости в соответствующей центровой позиции (см. пункт 4).
4) Условия, при которых конус будет правым.
- Правый круговой конус: ось конуса перпендикулярна плоскости основания и пересекает её в центре круга основания. Поэтому:
- Описанный конус, боковая поверхность которого проходит через вершины многоугольника, может быть правым только если многоугольник цикличен (все вершины лежат на одной окружности) и проекция вершины конуса на плоскость — это центр этой окружности (центр описанной окружности).
- Вписанный конус (касатель к сторонам) может быть правым только если многоугольник тангенциальный (существует вписанная окружность) и проекция апекса совпадает с её центром (инцентром многоугольника).
- Для правильного $n$-угольника центр описанной и вписанной окружностей совпадают с его центром симметрии, поэтому любой симметричный по центру выбор апекса над этим центром даёт правый конус; высота при заданном полувертикальном угле $\theta$ $$h=\frac{R}{\tan \theta }\text{(если используется описанная окружность)}.$$
5) Замечания о невозможностях и общих случаях.
- Если многоугольник не цикличен, нельзя получить описанный правый круговой конус (нет одной окружности через все вершины). Можно всё же построить наклонный (неправый) круговой конус, боковая поверхность которого проходит через вершины: тогда сечение плоскостью будет не круг, а более общая кривая (конечное множество точек могут лежать на пересечении конуса с плоскостью).
- Аналогично, если многоугольник не тангенциальен, нет единой окружности, касательной ко всем сторонам, значит не существует правого вписанного кругового конуса.
Коротко: радиус основания конуса фиксируется геометрически (это либо радиус описанной, либо вписанной окружности многоугольника, если они существуют); высота связана с этим радиусом и полу-углом при вершине формулой $h=\rho \cot \theta$. Конус будет правым тогда и только тогда, когда проекция апекса совпадает с соответствующим центром (центр описанной окружности для описанного конуса, инцентр для вписанного); такие центры существуют только для цикличных (описанный) или тангенциальных (вписанный) многоугольников.