Формулировка (в одном из стандартных вариантов). Пусть заданы две прямые общего положения $a$ и $b$ (т.е. не совпадают; для простоты примем, что они не параллельны) и на $a$ заданы две различные точки $A_1,A_2$, на $b$ — две различные точки $B_1,B_2$. Пусть заданы два действительных числа $\alpha$ и $\beta$. Тогда существует ровно одна прямая $l$, пересекающая $a$ в точке $X$ и $b$ в точке $Y$, для которых выполняются соотношения направленных отрезков
$$\frac{A_{1}X}{X{A}_2}=\alpha ,\frac{B_{1}Y}{Y{B}_2}=\beta ,$$ за исключением вырожденных случаев (см. ниже).
Доказательство (координатное, кратко). Проведём аффинное преобразование, переводящее прямые $a$ и $b$ в оси координат (аффинные преобразования сохраняют отношение направленных отрезков на одной прямой), поэтому можно считать $a$ — осью $Ox$, $b$ — осью $Oy$. Пусть
$$A_1=(x_1,0),A_2=(x_2,0),B_1=(0,y_1),B_2=(0,y_2),$$ и пусть точки пересечения искомой прямой с осями имеют координаты $X=(x_X,0)$, $Y=(0,y_Y)$. Условие разделения отрезка даёт формулы секущей точки (формула внутреннего/внешнего деления):
$$x_X=\frac{\alpha x_2+x_1}{1+\alpha },y_Y=\frac{\beta y_2+y_1}{1+\beta },$$ при условии $1+\alpha \ne 0$ и $1+\beta \ne 0$. Эти значения однозначно определяют точки $X$ и $Y$, а следовательно — прямую $l$ через $X$ и $Y$. Поэтому при невырожденных значениях $\alpha ,\beta$ существует ровно одна такая прямая.
Вырожденные случаи:
- Если $1+\alpha =0$ (т.е. $\alpha =-1$), то формула даёт точку $X$ на бесконечности — это означает, что искомая прямая параллельна прямой $a$. Решение существует только если требуемая прямая, параллельная $a$, пересекает $b$ в точке, удовлетворяющей второму условию; это даётся проверкой единичного уравнения для $y_Y$.
- Аналогично для $\beta =-1$.
- Если $a$ и $b$ параллельны, нужно работать в другом координатном виде (например, взять одну ось вдоль $a$, вторую перпендикулярно); тогда возможны ограничения (например, прямая, параллельная $a$, может никогда не пересечь $b$ и т.п.).
Уникальность. Из координатного вывода видно, что для заданных конечных $\alpha ,\beta$ точки $X,Y$ определены единственно, значит и прямая через них единственна.
Замечание (проективный взгляд). Отображение точки $X\in a$ в точку $Y\in b$, получаемое как пересечение с фиксированной прямой через $X$, является дробно-линейным (проектным) на координатных параметрах; требование фиксированных отношений на каждой из прямых сводится к решению линейных уравнений в параметрах, отчего действует единственность/существование, описанные выше.
Примеры приложений:
- Построение прямой, которая делит два данных отрезка в заданных отношениях (через выбор точек $A_1,A_2$ и $B_1,B_2$ на двух опорных прямых) — геометрические конструкции линейными инструментами.
- Задачи о проекции: при проецировании отрезков из одной прямой в другую сохраняются отношения деления (в проективном смысле), это используется в задачах перспективы и компьютерной графике.
- Решение задач с подобием и теоремой Менелая: нахождение трансверсали с заданными отношениями часто сводится к приведённой конструкции.
- При прикладных вычислениях (интерполяция, картография) — перевод требований о частях отрезков в уравнения прямых и их аналитическое решение.
Таким образом, в невырожденной ситуации искомая прямая существует и единственна; доказательство даётся прямой параметризацией точек на исходных прямых и использованием формулы деления отрезка.