Выбранная схема: ферма типа Warren (треугольная ферма) для мостового пролёта.
Краткое описание геометрической модели:
- Узлы и прямолинейные стержни, образующие систему равновеликих треугольников; конструкция моделируется как плоская статически определимая ферма с шарнирными узлами (pin-jointed truss).
- Геометрия узлов задаётся координатами $(x_i,y_i)$; длины стержней $L_{ij}=\sqrt{(x_j-x_i{)}^2+(y_j-y_i{)}^2}$.
Какие геометрические и механические теории используются:
- Статическая равновесность плоской системы: в каждом узле выполняются
$\sum F_x=0,\sum F_y=0$.
- Условие статической определимости фермы:
$$m+r=2j,$$ где $m$ — число стержней, $j$ — число узлов, $r$ — число реакций опор.
- Треугольная геометрия обеспечивает жёсткость: треугольник — минимально жёсткая замкнутая фигура в плоскости.
- Теория упругости для расчёта продольных деформаций: осевая жёсткость стержня
$$k=\frac{EA}{L},\delta =\frac{NL}{EA},$$ где $E$ — модуль упругости, $A$ — площадь сечения, $N$ — осевая сила.
- Проверка устойчивости сжатых элементов по формуле Эйлера:
$$P_{cr}=\frac{{\pi }^{2}EI}{(KL{)}^2},$$ где $I$ — момент инерции, $K$ — коэффициент заделки.
- Для расчёта влияния движущихся нагрузок применяют диаграммы влияния (influence lines), а для реальных сложных геометрий — конечные элементы (FEM) с бар- и балочными элементами.
Допустимые приближения и когда они применимы:
- Шарнирные (pin) узлы: допустимо, если соединения относительно гибкие и большинство нагрузок воспринимается стержнями осевыми — упрощает решение методом узлов/сечений.
- Чисто осевое нагружение стержней: годится при аккуратном расположении нагрузок в узлах; при нагрузках между узлами нужно учитывать изгиб (балочные элементы).
- Малая деформация (линейная теория): $\delta /L\ll 1$ — если деформации малы, допускается линейная суперпозиция; при крупных прогибах учитывают вторые порядки (P-Δ).
- Игнорирование начальных геометрических дефектов: допустимо при строгом контроле изготовления; при больших длиннотах и сжатии учитывать начальные прогибы.
- Проверка удара и динамики: статическая модель достаточна для медленных или стационарных нагрузок; при движении поездов/ветров применять динамический расчёт.
Практические следствия:
- Геометрия фермы (треугольники) минимизирует число неизвестных и позволяет лёгкий аналитический расчёт: по условию $m+r=2j$ ферма может быть статически определима, что упрощает проверку каждого стержня через $\sum F_x,\sum F_y$.
- В реальном проекте дополнительно проверяют устойчивость сжатых элементов по $P_{cr}$, учитывают гибкость соединений и, при необходимости, переходят на FEM с учётом изгибов и вторичных эффектов.
Это даёт компактное, контролируемое и экономичное решение для мостов средней пролётности, при условии соблюдения перечисленных допущений.