Кратко и по сути — основные симметрии, соотношения и геометрические множества в остром треугольнике $ABC$ с ортоцентром $H$. Обозначим следы высот $D\in BC,E\in CA,F\in AB$; отражения $H$ относительно сторон и средних точек: $A^{\prime },B^{\prime },C^{\prime }$ — отражения относительно $BC,CA,AB$, а $M_a,M_b,M_c$ — середины соответствующих сторон; через $A^{\ast },B^{\ast },C^{\ast }$ обозначим антиоды вершин на описанной окружности.
1) Отражение относительно стороны (самая важная и простая факт)
- Точки $A^{\prime },B^{\prime },C^{\prime }$ лежат на описанной окружности $(ABC)$ и при этом коллинеарны с соответствующими вершинами:
$$A^{\prime },A,H\text{коллинеарны},B^{\prime },B,H\text{коллинеарны},\dots$$ Доказательство (кратко): отражение сохраняет углы с $BC$, поэтому
$$\angle B{A}^{\prime }C=\angle BHC=180^{\circ }-\angle A,$$ а это условие принадлежности $A^{\prime }$ описанной окружности (аналогично для других вершин). Следовательно $A^{\prime }$ — это второе пересечение высоты $AH$ с окружностью $(ABC)$.
2) Отражение относительно середины стороны (очень простое векторное наблюдение)
- Отражение $H$ относительно середины $M_a$ стороны $BC$ даёт антиод вершины $A$ на $(ABC)$:
возьмём систему с центром в описанном центре $O$ (тогда координаты вершин — векторы $A,B,C$ на окружности, и $H=A+B+C$); тогда
$$\text{отражение}H\text{в}{M}_a=2M_a-H=(B+C)-(A+B+C)=-A,$$ то есть точка $-A$ — антиод $A$. Аналогично для $B,C$. Итого: отражения в серединах сторон дают три антиода $A^{\ast },B^{\ast },C^{\ast }$ на $(ABC)$.
3) Ортоцентр и орто-треугольник (orthic)
- $H$ — инцентер (центр вписанной окружности) орто-треугольника $DEF$: линии $AH,BH,CH$ — биссектрисы углов $\angle DEF,\dots$. Это объясняет, почему отражения $H$ относительно сторон связаны с симметрией в орто-треугольнике.
4) Отражение относительно вершины
- Отражение $H$ относительно вершины $A$ — это точка
$$H_A=2A-H.$$ В общем случае $H_A$ не лежит на описанной окружности $(ABC)$; это просто центральная симметрия ортoцентра относительно вершины. Аналитически при положении $O$ в начале координат $H=A+B+C$, поэтому $H_A=2A-(A+B+C)=A-B-C$. Эти три симметричные точки $H_A,H_B,H_C$ имеют простую алгебраическую запись, но не образуют какую‑то одну классическую окружность в общем положении (они служат для построений и тождеств, например в задачах с преобразованиями).
5) Краткая сводка геометрических множеств (мест точек)
- Описанная окружность $(ABC)$: содержит все три отражения $A^{\prime },B^{\prime },C^{\prime }$ (относительно сторон) и также антиоды $A^{\ast },B^{\ast },C^{\ast }$ (относительно серединам сторон).
- Орто-треугольник $DEF$: ортоцентр $H$ — его инцентер; связи с отражениями дают биссектрисы и симметрии в $DEF$.
- Точки $H_A,H_B,H_C$ (отражения относительно вершин) — отдельные симметрические точки, задаваемые формулой $2A-H$ и тождествами, но не принадлежат, в общем, какой‑то одной из предыдущих окружностей.
Заключение (сжатое): отражение ортоцентра относительно стороны даёт второе пересечение соответствующей высоты с описанной окружностью; отражение относительно середины стороны даёт антиод соответствующей вершины на описанной окружности; отражение относительно вершины даёт точку $2A-H$ (центральная симметрия), обычно не лежащую на описанной окружности.