Надо уточнить термин: я предполагаю, что «медианные сечения через вершину $A$» — это три сечения плоскостями, каждая из которых проходит через $A$ и через два середины сторон треугольника противоположной грани $BCD$. Обозначим середины $M_{BC},M_{CD},M_{DB}$. Тогда сечения — треугольники
$A{M}_{BC}{M}_{CD},A{M}_{CD}{M}_{DB},A{M}_{DB}{M}_{BC}$.
Ниже даю несколько способов доказать соотношение площадей и обсуждаю, когда равенство выполняется или нет.
1) Прямое геометрическое наблюдение (самое простое).
- В треугольнике $BCD$ отрезок $M_{BC}{M}_{CD}$ — середина между сторонами $BC$ и $CD$, поэтому
$$M_{BC}{M}_{CD}\parallel BD,|M_{BC}{M}_{CD}|=\frac{1}{2}|BD|.$$ - Высота треугольника $A{M}_{BC}{M}_{CD}$, опущенная на базу $M_{BC}{M}_{CD}$, равна расстоянию от $A$ до прямой $BD$ (параллельные прямые имеют одинаковую расстоянию от точки).
- Значит
$$\mathrm{Area}(A{M}_{BC}{M}_{CD})=\frac{1}{2}\cdot |M_{BC}{M}_{CD}|\cdot \mathrm{dist}(A,BD)=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}|BD|\cdot \mathrm{dist}(A,BD).$$ Но $\mathrm{Area}(ABD)=\frac{1}{2}|BD|\cdot \mathrm{dist}(A,BD)$, следовательно
$$\mathrm{Area}(A{M}_{BC}{M}_{CD})=\frac{1}{2}\mathrm{Area}(ABD).$$ Аналогично
$$\mathrm{Area}(A{M}_{CD}{M}_{DB})=\frac{1}{2}\mathrm{Area}(ABC),\mathrm{Area}(A{M}_{DB}{M}_{BC})=\frac{1}{2}\mathrm{Area}(ACD).$$ Отсюда очевидно: эти три медианных сечения равны между собой тогда и только тогда, когда равны площади трёх граней с общей вершиной $A$:
$$\mathrm{Area}(ABD)=\mathrm{Area}(ABC)=\mathrm{Area}(ACD).$$
2) Координатный (векторный) метод.
- Положим векторы $\mathbf{b},\mathbf{c},\mathbf{d},\mathbf{a}$ для вершин $B,C,D,A$. Тогда
$${\mathbf{m}}_{BC}=\frac{\mathbf{b}+\mathbf{c}}{2},{\mathbf{m}}_{CD}=\frac{\mathbf{c}+\mathbf{d}}{2},$$ и площадь $A{M}_{BC}{M}_{CD}$ равна половине нормы векторного произведения
Area⁡(AMBCMCD)=12∥ (mBC−a)×(mCD−a) ∥=14∥ (b+c−2a)×(c+d−2a) ∥. \operatorname{Area}(A M_{BC}M_{CD})=\tfrac12\bigl\|\,( \mathbf m_{BC}-\mathbf a)\times(\mathbf m_{CD}-\mathbf a)\,\bigr\|
=\tfrac14\bigl\|\,( \mathbf b+\mathbf c-2\mathbf a)\times( \mathbf c+\mathbf d-2\mathbf a)\,\bigr\|.
Area(AMBC MCD )=21 (mBC −a)×(mCD −a) =41 (b+c−2a)×(c+d−2a) . Раскрывая и используя свойства векторного произведения, получаем (после упрощения)
$$\mathrm{Area}(A{M}_{BC}{M}_{CD})=\frac{1}{2}\mathrm{Area}(ABD),$$ и аналогично для других двух. Это даёт ту же необходимую и достаточную условие равенства площадей, что и в пункте 1.
3) Аффинный / подобие подход.
- Отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника, параллелен третьей стороне и вдвое её короче — это свойство аффинности. По аффинным преобразованиям отношение площадей сохраняется, поэтому переход от треугольника $ABD$ к треугольнику $A{M}_{BC}{M}_{CD}$ даёт коэффициент площади $1/2$. Это снова даёт формулы пункта 1 и вывод о критерии равенства.
Когда равенство выполняется и когда не выполняется.
- Равенство всех трёх медианных сечений через $A$ выполняется тогда и только тогда, когда площади трёх граней, смежных с $A$, равны:
$$\mathrm{Area}(ABD)=\mathrm{Area}(ABC)=\mathrm{Area}(ACD).$$ - В частности, это верно для правильного (регулярного) тетраэдра и для тетраэдров, у которых вершина $A$ расположена так, что соответствующие три грани имеют равные площади.
- В общем случае (обычный асимметричный тетраэдр) грани с общей вершиной $A$ имеют разные площади, и тогда медианные сечения тоже имеют разные площади.
- Тривиальные исключения: вырождённый тетраэдр (все четыре точки в одной плоскости) или вырожденные конфигурации, где какая‑то грань имеет нулевую площадь — тогда формулы теряют смысл.
Кратко: три «медианных» треугольника через $A$, полученные соединением $A$ с парами середин сторон противоположной грани, имеют площади
$$\mathrm{Area}(A{M}_{BC}{M}_{CD})=\frac{1}{2}\mathrm{Area}(ABD),\text{и т.д.},$$ поэтому они равны между собой тогда и только тогда, когда равны площади граней $ABD,ABC,ACD$.