Кратко сначала — конфигурации, затем обобщённая теорема и доказательство.
1) Конфигурации для двух окружностей S1 и S2, пересекающихся в P и Q:
- Общая хорда — прямая PQ (единственная общая хордa).
- В каждой точке пересечения (в P и в Q) существуют по две касательные: касательная к S1 и касательная к S2. Эти касательные в общем случае различны; их попарные углы образуют все возможные углы между касательными и общей хордой.
- Кроме того, у двух пересекающихся окружностей существуют ровно две общие внешние касательные (они не пересекают отрезок соединяющий центры); внутренних общих касательных нет (они «пересекались бы» в зоне пересечения окружностей).
Таким образом все типы углов, которые имеют смысл: угол между касательной (к одной из окружностей) в P (или в Q) и хордой PQ; угол между двумя касательными в той же точке; угол между касательной в P и касательной в Q и т.д. Все эти углы выражаются через длины дуг (мера дуг) соответствующих окружностей.
2) Обобщённая теорема (теза в двух частях: классическое утверждение и унифицированная формула для любых двух лучей/касательных/хорд).
Теорема (касательная — хорда). Пусть в окружности C точка P — точка касания касательной t и точка конца хорды PA. Тогда угол между касательной t и хордой PA равен углу, вписанному в ту же дугу PA, то есть равен половине меры дуги PA (дуги, не содержащей P). Формально
$$\angle (\text{tangent at}P,PA)=\frac{1}{2}PA,$$ и эквивалентно
$$\angle (\text{tangent at}P,PA)=\angle PBA$$ для любого B на окружности, лежащего на дуге PA, противоположной P.
Унифицированная формула для угла, образованного двумя пересекающимися прямыми, которые пересекают (или касаются) одну окружность:
- если две хорды (пересечение внутри окружности) образуют угол, то он равен половине суммы мер противоположных дуг;
- если одна прямая — касательная в точке T, другая — хорда или секущая, то угол равен половине разности соответствующих дуг (в частном случае хорда и касательная: одна из дуг «вторая» равна нулю, получаем предыдущую формулу);
- если обе прямые касательны в точках T1 и T2, то угол между ними равен половине разности дуг T1T2 (соответствующе ориентированной).
Обобщённо: если две прямые l1 и l2 пересекаются в точке X и пересекают окружность C в точках A1,A2 (для l1) и B1,B2 (для l2) так, что угол указывается дугами $A_1{A}_2$ и $B_1{B}_2$ (считаем дуги, видимые из угла), то
$$\angle (l_1,l_2)=\frac{1}{2}(|A_1{A}_2\pm B_1{B}_2|),$$ знак «+» соответствует случаю, когда точка пересечения X лежит внутри окружности (сумма дуг), знак «−» — когда вне (разность дуг). В частном случае одной касательной формула даёт половину соответствующей дуги.
3) Доказательство основных утверждений.
А) Доказательство касательная—хорда. Пусть O центр окружности, т.ч. P на окружности, PA — хорда, t — касательная в P. Проведём радиусы $OP$ и $OA$. Углы: $\angle OPA$ — угол при вершине P в треугольнике $OPA$; так как $OP=OA$, треугольник $OPA$ равнобедренный, и центральный угол $\angle AOP$ вдвое больше вписанного угла, опирающегося на дугу $AP$. Касательная t перпендикулярна радиусу $OP$, значит
$$\angle (\text{tangent at}P,PA)=90^{\circ }-\angle OPA.$$ А центральный угол $\angle AOP=2\angle ABP$ (для любого B на дуге AP), а $\angle OPA=90^{\circ }-\angle ABP$. Подставляя, получаем
$$\angle (\text{tangent at}P,PA)=\angle ABP,$$ то есть равен вписанному углу, опирающемуся на ту же дугу, что эквивалентно $\frac{1}{2}$ меры дуги $AP$. Это и доказывает первую формулу.
B) Доказательство унифицированной формулы. Берём две прямые l1,l2 и рассматриваем их перестановку пересечений с окружностью. Используя факт о вписанных углах (вписанный угол равен половине меры соответствующей дуги) и формулу касательной—хорда (для случаев касательной), легко проверяется, что угол между l1 и l2 равен половине суммы дуг (если точка пересечения внутри) или половине разности дуг (если снаружи). Формально: если X внутри окружности, то каждый из двух углов между лучами равен сумма двух соответствующих вписанных углов, т.е.
$$\angle (l_1,l_2)=\frac{1}{2}(A_1{A}_2+B_1{B}_2),$$ если X снаружи, берётся разность дуг:
∠(l1,l2)=12∣A1A2^−B1B2^∣. \angle(l_1,l_2)=\tfrac12\bigl|\widehat{A_1A_2}-\widehat{B_1B_2}\bigr|.
∠(l1 ,l2 )=21 A1 A2 −B1 B2 . Детали доказательства получаютcя прямым сведением к равенствам вписанных и центральных углов и к perpendicularity радиуса и касательной (см. стандартный курс геометрии).
4) Следствия для двух пересекающихся окружностей S1 и S2 (общая формулировка).
- Угол между касательной к S1 в P и общей хордой PQ равен половине меры дуги $PQ$ на S1:
$$\angle ({\text{tangent}}_{S1\text{в}P},PQ)=\frac{1}{2}{PQ}_{S1}.$$ - Аналогично для S2:
$$\angle ({\text{tangent}}_{S2\text{в}P},PQ)=\frac{1}{2}{PQ}_{S2}.$$ Таким образом все возможные углы между касательными и общей хордой описываются этими величинами; угол между касательными к двух окружностям в P равен половине суммы/разности соответствующих дуг на соответствующих окружностях (в зависимости от ориентации измерения угла).
Заключение: обобщённая теорема — это т.н. «теорема о касательной и хорде» и её единая формулировка для любых пар прямых (касательная/хорда/секущая): угол между ними равен половине суммы или разности метрик дуг, которые они высекают на окружности. Для двух пересекающихся окружностей все углы между общей хордой PQ и любыми касательными (как локальными в P или Q, так и общими внешними) вычисляются по этой формуле, заменяя «дугу» на соответствующую дугу той окружности, к которой относится касательная или хорда.