Ниже — несколько эквивалентных формулировок теоремы Пифагора (эвклидовой, координатной и векторной), их краткие доказательства и сравнительная оценка удобства применения.
1) Эвклидова (геометрическая) формулировка.
- Формулировка: В прямоугольном треугольнике с катетами длины $a$ и $b$ и гипотенузой длины $c$ выполняется
$$a^2+b^2=c^2.$$ - Доказательство (классическое через высоту на гипотенузу). Пусть треугольник $ABC$ прямой в $C$, $AC=b$, $BC=a$, $AB=c$. Пусть высота из $C$ на $AB$ делит гипотенузу на отрезки длины $d$ и $e$ с $d+e=c$. По подобию треугольников получаем
$$a^2=cd,b^2=ce.$$ Складывая: $a^2+b^2=c(d+e)=c^2$.
- Обратное утверждение (конверса): если в треугольнике суммы квадратов двух сторон равна квадрату третьей стороны, то угол напротив этой третьей стороны прямой. Доказательство удобно через закон косинусов: для угла $\gamma$ против стороны $c$ имеем $c^2=a^2+b^2-2ab\cos \gamma$. При $c^2=a^2+b^2$ следует $\cos \gamma =0$, значит $\gamma =90^{\circ }$.
2) Координатная формулировка.
- Формулировка: Для точек $A(x_1,y_1)$, $B(x_2,y_2)$, $C(x_3,y_3)$ угол в $A$ прямой тогда и только тогда, когда
$$A{B}^2+A{C}^2=B{C}^2,$$ где, например,
$$A{B}^2=(x_2-x_1{)}^2+(y_2-y_1{)}^2,A{C}^2=(x_3-x_1{)}^2+(y_3-y_1{)}^2,B{C}^2=(x_3-x_2{)}^2+(y_3-y_2{)}^2.$$ - Доказательство (алгебраически через скалярное произведение). Рассмотрим разность:
$$A{B}^2+A{C}^2-B{C}^2=2((x_2-x_1)(x_3-x_1)+(y_2-y_1)(y_3-y_1)).$$ Правая часть равна $2AB\cdot AC$. Следовательно равенство $A{B}^2+A{C}^2=B{C}^2$ эквивалентно $AB\cdot AC=0$, т.е. векторному ортогональному условию, а это и есть прямой угол в $A$.
3) Векторная (скалярно- алгебраическая) формулировка.
- Формулировка: Для векторов $\mathbf{u},\mathbf{v}$ в евклидовом пространстве выполнено
$$\Vert \mathbf{u}+\mathbf{v}{\Vert }^2=\Vert \mathbf{u}{\Vert }^2+\Vert \mathbf{v}{\Vert }^2$$ тогда и только тогда, когда $\mathbf{u}$ перпендикулярен $\mathbf{v}$ (то есть $\mathbf{u}\cdot \mathbf{v}=0$).
- Доказательство: по формуле для квадрата нормы
$$\Vert \mathbf{u}+\mathbf{v}{\Vert }^2=\Vert \mathbf{u}{\Vert }^2+2\mathbf{u}\cdot \mathbf{v}+\Vert \mathbf{v}{\Vert }^2.$$ Отсюда равенство выше эквивалентно $\mathbf{u}\cdot \mathbf{v}=0$.
Замечания и сравнение удобства применения.
- Геометрическая формулировка — наиболее интуитивна, удобна при чисто геометрических построениях и доказательствах на плоскости, когда работают с отношениями сегментов и подобием треугольников.
- Координатная формулировка — удобна для вычислений при наличии координат точек, проверки прямого угла в задачах аналитической геометрии и при численных вычислениях.
- Векторная формулировка (через скалярное произведение) — наиболее общая и компактная; легко обобщается на пространства любой размерности и на абстрактные евклидовы/скалярно-произвольные пространства; удобна в линейной алгебре и механике.
Все три формулировки эквивалентны: геометрическая ⇔ координатная (через выражения расстояний) ⇔ векторная (через тождество для нормы и скалярного произведения).