Краткий ответ (с пояснениями).
Обозначим через $d_{AB}(X)$ расстояние от точки $X$ до прямой $AB$ и т.п. Рассмотрим функцию
$$F(X)=d_{AB}(X)+d_{CD}(X)-(d_{BC}(X)+d_{AD}(X)).$$ 1) Линейность и геометрическая интерпретация. Для фиксированных прямых выражение $d_l(X)$ — аффинная (линейная сдвинутая) функция от координат $X$. Следовательно $F(X)$ — аффинная функция, и множество её нулей $\{X\mid F(X)=0\}$ — либо вся плоскость (если $F\equiv 0$), либо прямая, либо пусто (если $F$ постоянна и ненулевая).
2) Строение (без измерений). Желаем построить прямую решений; дальше любой её внутренний точке будет искомой $P$ (если прямая пересекает внутренность четырёхугольника).
- Через какую‑нибудь опорную точку $O$ опустите перпендикуляры на прямые $AB,BC,CD,AD$ и скопируйте (компасом) эти отрезки расстояний вдоль выбранных перпендикуляров (так можно складывать и вычитать отрезки без измерения).
- Геометрически можно получить векторное представление линейной части $F$ как сумму нормалей: векторный коэффициент градиента $v$ пропорционален $n_{AB}+n_{CD}-n_{BC}-n_{AD}$ (где $n_l$ — единичный вектор, нормальный к прямой $l$, направленный по выбранной ориентации). Конструкция вектора $v$ делается сложением/вычитанием равных единичных векторов, построенных перпендикулярно соответствующим сторонам (копированием равных отрезков и параллельным переносом — всё это классические циркуль‑линейные операции).
- Направление искомой прямой — перпендикулярно $v$. Для сдвига прямой от нуля до нужного положения вычислите значение $F(O)$ (суммированием и вычитанием построенных отрезков); затем сдвиньте перпендикуляр к $v$ от точки $O$ в ту или иную сторону на расстояние, пропорциональное $F(O)/\Vert v\Vert$ (т.е. постройте параллельную линию на соответствующем шаге с использованием копирования отрезков). Эта прямая и будет множеством точек, где суммы расстояний равны.
3) Единственность и зависимость от формы:
- Если векторный коэффициент $v\ne 0$, то множество решений — прямая. Внутри выпуклого четырёхугольника пересечение этой прямой с его внутренностью либо пусто, либо даёт бесконечно много решений (отрезок прямой внутри фигуры). В этом смысле решение не обязательно единственно.
- Если $v=0$ и одновременно постоянный член $=0$ (то есть $F\equiv 0$), то равенство выполняется для всех точек плоскости (в частности для всех точек внутри квадрилатера). Это происходит, например, в квадрате (расстояния между противоположными прямыми совпадают).
- Если $v=0$ но постоянный член $\ne 0$, то $F$ постоянна ненулевая и решений нет (пример: прямоугольник с разными сторонами: суммы расстояний по вертикальной паре и по горизонтальной паре — разные константы, поэтому равенство невозможно).
Итого: конструктивно вы строите прямую решений (поскольку нули аффинной функции образуют прямую) и берёте её пересечение с внутренностью квадрилатера. В зависимости от формы квадрилатера возможны три случая: нет решения, множество решений (отрезок или вся внутренняя область), либо прямая решений не пересекает внутренность.