Кратко — как считать и какие приближения допускать.
1) Представление и разбиение
- Представьте вырезанную часть как разность/пересечение тел (параллелепипед ± вырез). Если вырез — полигональная/плоская геометрия, получаете многоугольный/полиэдральный объект; если вырез — гладкая поверхность (кривая), аппроксимируйте её треугольной сеткой (меш).
- Разбейте объём на простые тетраэдры/призмы/пирамиды или треугольные грани (триангуляция каждой поверхности).
2) Объём полиэдра (точно для замкнутого треангулированного объекта)
- Для ориентированной треугольной грани с вершинами $\mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{c}$ (ориентация наружу) объём тетраэдра, образованного с началом координат:
$$V_{\text{tri}}=\frac{1}{6}(\mathbf{a}\times \mathbf{b})\cdot \mathbf{c}.$$ Суммируя по всем треугольникам даёт ориентированный объём тела:
$$V=\sum _{\text{tri}}\frac{1}{6}(\mathbf{a}\times \mathbf{b})\cdot \mathbf{c}.$$ (Можно взять абсолютное значение суммарного результата или обеспечить согласную ориентацию граней.)
- Альтернативная формула через дивергенцию ($\mathbf{F}=\mathbf{r}/3$, $\nabla \cdot \mathbf{F}=1$):
$$V=\frac{1}{3}\sum _i{A}_i({\mathbf{n}}_i\cdot {\mathbf{r}}_{c,i}),$$ где $A_i$ — площадь i‑й грани, ${\mathbf{n}}_i$ — её наружный единичный нормаль, ${\mathbf{r}}_{c,i}$ — координаты её центра.
3) Площадь поверхности
- Для треугольной грани:
$$S_{△}=\frac{1}{2}\Vert (\mathbf{b}-\mathbf{a})\times (\mathbf{c}-\mathbf{a})\Vert .$$ Общая площадь — сумма площадей всех граней (включая грани выреза внутри).
4) Практические методы при сложной (гладкой/неполигональной) геометрии
- Триангуляция/адаптивный меш: аппроксимируйте поверхность треугольниками; для гладких областей используйте крупные треугольники, возле мелких деталей — более мелкие (адаптивная сеть).
- Вокселизация (кубическая сетка) — удобно для быстрых оценок и булевых операций; объём = число занятых вокселей × объём вокселя.
- Монте‑Карло: поместить тело в известный контейнер объёма $V_{\text{box}}$, генерировать $N$ точек, $N_{\text{in}}$ попали внутрь:
$$V\approx V_{\text{box}}\frac{N_{\text{in}}}{N},\sigma \sim \sqrt{\frac{p(1-p)}{N}}{V}_{\text{box}},$$ где $p=N_{\text{in}}/N$. Полезно для очень сложных тел.
5) Оценка и контроль погрешности
- Для сетевой аппроксимации максимальный размер ребра $h$. Для гладких поверхностей погрешности площади и объёма убывают с уменьшением $h$ (обычно как $O(h^2)$ для площади при линейной аппроксимации), поэтому делайте сетку так, чтобы характерный размер $h$ был значительно меньше характерной кривизны/толщины деталей.
- Практические пороги: для архитектурных расчётов 1–5% погрешности обычно допустимо; для конструктивного проектирования — 0.1–1% в зависимости от требуемой точности.
- Правила: игнорировать (отключать) детали, размеры которых существенно меньше требуемой точности (например, <1/10 минимальной разрешаемой погрешности). Для тонких элементов требуется тонкая сетка.
6) Контроль корректности
- Проверяйте, что меш замкнут (closed manifold) и нормали согласованы; сравнивайте результаты разными методами (тетраэдризация vs. дивергенция vs. вокселизация/Monte‑Carlo).
- Для булевых операций (вычитание выреза из параллелепипеда) пользуйтесь надёжными CAD/CGAL/boolean‑библиотеками, затем повторно вычисляйте объём по треугольной сетке.
Резюме: если вырез polyhedral — разбиение и формулы из пункта 2–3 дают точный результат; если вырез гладкий — аппроксимируйте адаптивной триангуляцией (контролируйте $h$ и ожидаемую погрешность). Для быстрых оценок используйте вокселизацию или Monte‑Carlo; для проектных расчётов ориентируйтесь на погрешность 0.1–5% в зависимости от требований.