Короткий ответ:
Для фиксированной вершины, скажем $A$, множество середин отрезков $AP$ при $P$ по описанной окружности — окружность с центром в середине отрезка $AO$ и радиусом $R/2$, где $O$ и $R$ — центр и радиус описанной окружности треугольника $ABC$.
Доказательство (кратко):
Пусть $M$ — середина $AP$. Тогда $P=2M-A$. Условие $P\in$ описанная окружность $(O,R)$ даёт
$$|2M-A-O|=R.$$ Это эквивалентно
$$|M-\frac{A+O}{2}|=\frac{R}{2},$$ т.е. $M$ пробегает окружность с центром $\frac{A+O}{2}$ и радиусом $\frac{R}{2}$.
Свойства и связи:
- Аналогично для вершин $B$ и $C$ получаем три окружности с центрами $\frac{A+O}{2},\frac{B+O}{2},\frac{C+O}{2}$ и одинаковым радиусом $\frac{R}{2}$.
- Каждая такая окружность проходит через точку $O$ (при $P$ — антиподе соответствующей вершины) и через середины двух сторон, примыкающих к этой вершине (при $P$ равном соответствующей другой вершине). Например, окружность для $A$ проходит через середины $AB$ и $AC$ и через $O$.
- Любые две из этих окружностей пересекаются в двух точках: в $O$ и в середине соответствующей общей стороны (для окружностей для $A$ и $B$ — в середине $AB$).
- Эти окружности получаютcя из описанной окружности однородным растяжением (гомотетией) с центрами $A,B,C$ и коэффициентом $1/2$.
- Связь с девятиточечной окружностью: девятиточечная окружность имеет тот же радиус $\frac{R}{2}$ и проходит через все три середины сторон и через $O$. Поэтому каждая из описанных выше окружностей пересекает девятиточечную окружность по двум серединам сторон (для окружности, соответствующей $A$, это середины $AB$ и $AC$). Тем не менее центры этих окружностей обычно не совпадают с центром девятиточечной окружности.
- Связь с вписанной окружностью: в общем случае прямой связи (касания или совпадения) с вписанной окружностью нет. Совпадение или касание может произойти только в специальных симметричных случаях (напр., в равностороннем треугольнике многие центры и радиусы вырождаются и некоторые из перечисленных окружностей совпадают).
Итого: геометрическое место середин отрезков от фиксированной вершины до произвольной точки описанной окружности — окружность с центром в середине соответствующей радиусной оси $AO$ и радиусом $\frac{R}{2}$; все три такие окружности равны по радиусу, проходят через $O$ и через середины смежных сторон, и являются гомотетическими образами описанной окружности с коэффициентом $1/2$.