Пусть нам заданы углы $\alpha =\angle A,\beta =\angle B$ и медиана $m$ из вершины $C$ на сторону $AB$. Обозначим $\gamma =\pi -\alpha -\beta$ (третий угол). Требуется построить треугольник $ABC$.
Вывод формулы (кратко). По теореме синусов можно записать стороны через некоторый масштабный множитель $k>0$:
$$a=k\sin \alpha ,b=k\sin \beta ,c=k\sin \gamma .$$ Формула для медианы к стороне $c$:
$$m=\frac{1}{2}\sqrt{2a^2+2b^2-c^2}.$$ Подставляя $a,b,c$ получаем
$$4m^2=k^2(2{\sin }^2\alpha +2{\sin }^2\beta -{\sin }^2\gamma ).$$ Отсюда, при обозначении
$$D=2{\sin }^2\alpha +2{\sin }^2\beta -{\sin }^2\gamma ,$$ получаем шкаляр
$$k=\frac{2m}{\sqrt{D}},$$ и тогда искомая длина основания
$$c=k\sin \gamma =\frac{2m\sin \gamma }{\sqrt{D}}.$$
Построение (практически):
1. Вычислите $\gamma =\pi -\alpha -\beta$ и $D=2{\sin }^2\alpha +2{\sin }^2\beta -{\sin }^2\gamma$.
2. Если $D\le 0$, то треугольник с заданными данными не строится (см. случаи ниже).
3. Иначе вычислите $c=\frac{2m\sin \gamma }{\sqrt{D}}$. Постройте отрезок $AB$ длины $c$ и найдите его середину $M$.
4. Через точки $A$ и $B$ проведите лучи, образующие с отрезком $AB$ углы $\alpha$ и $\beta$ соответственно (внутренние углы треугольника). Эти лучи пересекутся в точке $C$. Проверка: расстояние от $C$ до $M$ должно равняться $m$ (по вычислению оно будет равно).
Число решений:
- Если $D>0$, то масштаб $k$ (и потому длина $c$) однозначно определены, следовательно треугольник однозначен с точностью до зеркального отражения относительно $AB$. То есть геометрически существует одно конгруэнтное решение (два положения вершины $C$, симметричных относительно прямой $AB$, обычно рассматриваются как одно по конгруэнтности или как два — если считать отражение различным).
- Если $D\le 0$, то для положительного $m$ решений нет (данные несовместны). (Вырожденный случай $m=0$ дает вырожденную конфигурацию $C\equiv M$, что не даёт невырожденного треугольника.)
Краткое пояснение: два угла $\alpha ,\beta$ фиксируют форму треугольника, поэтому медиана масштабирует единственным образом; формула через $D$ и $k$ даёт единственный масштаб при $D>0$.