Коротко: утверждение ложно. Контрпример и точные критерии ниже.
Контрпример (самый простой). Прямоугольник со сторонами $a\ne b$ — выпуклый четырёхугольник, в котором суммы противоположных углов равны $\pi$ (так как все углы по $90^{\circ }$), но вписанная окружность существует лишь при $a=b$ (т. е. только для квадрата). Действительно, центр потенциальной вписанной окружности должен быть равноудален от всех четырёх сторон; в прямоугольнике центр симметрии даёт расстояия $a/2$ и $b/2$, они равны только при $a=b$. Значит условие «сумма противоположных углов = $180^{\circ }$» не даёт инклюзивности окружности.
Правильные критерии существования вписанной окружности (касательной ко всем сторонам):
1) Необходимое и достаточное условие геометрическое: внутренние биссектрисы всех углов должны пересекаться в одной точке (центре вписанной окружности). Эквивалентно — существует точка, равномерно удалённая от всех сторон.
2) Условие через длины сторон. Обозначим стороны по порядку $s_1,\dots ,s_n$. Существование вписанной окружности равносильно существованию положительных «длинах касательных» $x_1,\dots ,x_n>0$ таких, что для всех $i$ $$s_i=x_i+x_{i+1},x_{n+1}=x_1.$$ - Для нечётного $n$ эта система имеет единственное решение (линейная система невырожденна); требуется дополнительно $x_i>0$.
- Для чётного $n=2m$ система разрешима (возможно с отрицательными решениями) тогда и только тогда, когда суммы чередующихся сторон равны:
$$\sum _{k=1}^m{s}_{2k-1}=\sum _{k=1}^m{s}_{2k}.$$ Кроме этого нужно, чтобы найденные $x_i$ были положительны.
Частный случай $n=4$ (четырёхугольник): вписанная окружность существует тогда и только тогда, когда
$$s_1+s_3=s_2+s_4$$ (теорема Пито). Отсюда видно, что условие «сумма противоположных углов = $\pi$» (оно равносильно цикличности четырёхугольника) не совпадает с условием Пито; для появления вписанной окружности оба условия вместе дают бицентрический (bicentric) четырёхугольник, но одно лишь дополнение углов не достаточно.
Итого: утверждение опровергнуто (например прямоугольник $a\times b$, $a\ne b$). Правильные критерии — пересечение всех биссектрис (эквивалентно — решение системы $s_i=x_i+x_{i+1}$ с $x_i>0$; для чётного числа сторон дополнительно нужна равенство сумм чередующихся сторон).