Пусть из одной вершины тетраэдра исходят векторы $\mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{c}$. Тогда:
1) Объём. Объём параллелепипеда, натянутого на эти векторы, равен абсолютному значению смешанного произведения:
$$V_{\text{par}}=\left|\mathbf{a}\cdot (\mathbf{b}\times \mathbf{c})\right|.$$ Тетраэдр — одна шестая такого параллелепипеда, следовательно объём тетраэдра
$$V=\frac{1}{6}\left|\mathbf{a}\cdot (\mathbf{b}\times \mathbf{c})\right|.$$
2) Высота к грани, образованной $\mathbf{b}$ и $\mathbf{c}$. Площадь этой треугольной грани
$$S_{bc}=\frac{1}{2}\Vert \mathbf{b}\times \mathbf{c}\Vert .$$ Из формулы объёма пирамиды $V=\frac{1}{3}{S}_{bc}{h}_a$ получаем
ha=3VSbc=∣a⋅(b×c)∣∥b×c∥=∣a⋅b×c∥b×c∥∣. h_a=\frac{3V}{S_{bc}}=\frac{\left|\mathbf a\cdot(\mathbf b\times\mathbf c)\right|}{\|\mathbf b\times\mathbf c\|}
=\left|\mathbf a\cdot\frac{\mathbf b\times\mathbf c}{\|\mathbf b\times\mathbf c\|}\right|.
ha =Sbc 3V =∥b×c∥∣a⋅(b×c)∣ = a⋅∥b×c∥b×c . Аналогично для других высот — циклически переставляя $\mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{c}$:
$$h_b=\frac{\left|\mathbf{b}\cdot (\mathbf{c}\times \mathbf{a})\right|}{\Vert \mathbf{c}\times \mathbf{a}\Vert },h_c=\frac{\left|\mathbf{c}\cdot (\mathbf{a}\times \mathbf{b})\right|}{\Vert \mathbf{a}\times \mathbf{b}\Vert }.$$
3) Геометрический смысл смешанного произведения. Смешанное произведение $\mathbf{a}\cdot (\mathbf{b}\times \mathbf{c})$:
- по абсолютной величине равно объёму параллелепипеда, построенного на векторах $\mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{c}$;
- знак (положительный или отрицательный) отражает ориентировку тройки векторов (право- или левосторонняя система);
- если смешанное произведение равно нулю, то векторы компланарны.
Также его можно записать как произведение площади основания и (ориентированной) высоты:
$$\mathbf{a}\cdot (\mathbf{b}\times \mathbf{c})=\Vert \mathbf{b}\times \mathbf{c}\Vert (\mathbf{a}\cdot \mathbf{n}),$$ где $\mathbf{n}=\frac{\mathbf{b}\times \mathbf{c}}{\Vert \mathbf{b}\times \mathbf{c}\Vert }$ — единичный нормаль к плоскости грани; отсюда явный смысл при вычислении высот.