Алгоритм (общая схема) — и как он меняется в трёх геометриях.
Общая идея: выбрать удобную систему/модель, положить фокусы в удобные координаты, записать условие разности геодезических расстояний и алгебраически исключить обратные функций/корни, получить уравнение множества точек; учесть ограничения на заданную разность и вырожденные случаи.
1) Евклидова плоскость
- Пусть фокусы $F_1,F_2$ на оси $x$ в точках $(\pm c,0)$, задана абсолютная разность расстояний $D\ge 0$. Обозначим $a=\frac{D}{2}$.
- Условие:
∣(x−c)2+y2−(x+c)2+y2∣=2a.\displaystyle \left|\sqrt{(x-c)^2+y^2}-\sqrt{(x+c)^2+y^2}\right|=2a. (x−c)2+y2 −(x+c)2+y2 =2a. - Возведение в квадрат и приведение даёт стандартное уравнение гиперболы (при $0<a<c$):
$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1,b^2=c^2-a^2$ (здесь $2c=d(F_1,F_2)$).
- Ограничения и вырожд. случаи:
$0\le D\le 2c.$ При $D=0$ — серединный перпендикуляр (прямая), при $D=2c$ — два луча на прямой, проходящей через фокусы (вырожденная «ветвь»).
2) Эллиптическая (сферическая) геометрия
- Модель: единичная сфера (или эллиптическая — сфера с отождествлением антиподов). Фокусы заданы единичными векторами $F_1,F_2$; точка $X$ на сфере.
- Геодезическое расстояние: $r_i=\arccos (F_i\cdot X)$.
- Условие:
$|r_1-r_2|=D\iff \cos (r_1-r_2)=\cos D.$ - С помощью формулы косинуса разности:
$(F_1\cdot X)(F_2\cdot X)+\sqrt{1-(F_1\cdot X{)}^2}\sqrt{1-(F_2\cdot X{)}^2}=\cos D.$ Дальше можно возвести в квадрат и получить алгебраическое (с корнями) уравнение по координатам $X$.
- Характер: множество — «сферическая гипербола» (две ветви/замкнутые линии в зависимости от $D$); пределы: по неравенству треугольника $|r_1-r_2|\le d(F_1,F_2)$; при $D=0$ — геодезическая серединная линия; при $D=d(F_1,F_2)$ — вырожденные геодезические лучи.
3) Гиперболическая геометрия
- Модель: например, гиперболоидная модель с минковским скалярным произведением $⟨\cdot ,\cdot ⟩$. Точки-положители $X,F_i$ с $d(X,F_i)=\mathrm{arccosh}(-⟨X,F_i⟩)$.
- Условие:
∣arccosh⁡(−⟨X,F1⟩)−arccosh⁡(−⟨X,F2⟩)∣=D.\displaystyle \big|\operatorname{arccosh}(-\langle X,F_1\rangle)-\operatorname{arccosh}(-\langle X,F_2\rangle)\big|=D. arccosh(−⟨X,F1 ⟩)−arccosh(−⟨X,F2 ⟩) =D. - Применяем гиперболический косинус разности:
$\cosh (d_1-d_2)=\cosh D,$ где $\cosh d_i=-⟨X,F_i⟩,\sinh d_i=\sqrt{{\cosh }^2{d}_i-1}=\sqrt{(-⟨X,F_i⟩{)}^2-1}.$ Подстановка даёт уравнение
$\cosh d_1\cosh d_2-\sinh d_1\sinh d_2=\cosh D,$ которое через $⟨X,F_i⟩$ приводит к алгебраическому уравнению (после квадрирования) на координаты $X$.
- Характер: в модели Клейна/проективной это даёт конику (аналог гиперболы); ограничения те же: $0\le D\le d(F_1,F_2)$; $D=0$ — геодезическая серединная линия; $D=d(F_1,F_2)$ — вырожд. лучи.
Краткое резюме алгоритма (универсально):
1. Выбрать модель/координаты и расположить фокусы удобно.
2. Записать геодезические расстояния $d_1,d_2$ в выбранной модели.
3. Поставить условие $|d_1-d_2|=D$.
4. Преобразовать (используя тригоном./гиперб. тождества), устранить обратные функции и радикалы (при необходимости возвести в квадрат), получить уравнение кривой.
5. Проанализировать ограничения на $D$ и вырожденные случаи.
Это даёт как явную практическую процедуру, так и объясняет, как меняется вид уравнения: в Евклиде получаем классическую гиперболу (коническая кривая), в сферической — тригонометрическое/алгебраическое уравнение («сферическая гипербола»), в гиперболической — аналог с гиперболическими функциями, в проективной модели — опять коника.