Постановка: дана окружность с центром $O$ и радиусом $R$ и точка $P$ снаружи ($PO>R$). Требуется построить касательные из $P$ к этой окружности.
Классическое построение циркулем и линейкой (простейшее, на базе теоремы Фалеса)
1. Постройте середину $M$ отрезка $OP$.
2. Постройте окружность с центром $M$ и радиусом $MO$ (это окружность с диаметром $OP$).
3. Точки пересечения этой окружности с данной окружностью обозначьте $T_1,T_2$.
4. Проведите прямые $P{T}_1$ и $P{T}_2$. Они являются искомыми касательными.
Короткое доказательство: $T$ — точка касания тогда и только тогда, когда $OT\perp PT$. Значит $\angle OTP=90^{\circ }$, т.е. $T$ лежит на окружности с диаметром $OP$. Поэтому $T$ — пересечение двух окружностей. Особые случаи: если $PO=R$ — одна касательная (точка касания), если $PO<R$ — касательных нет.
Альтернативный классический подход (через мощность точки): для любой секущей через $P$, пересекающей окружность в $A,B$, выполняется $PA\cdot PB=P{T}^2$. Это позволяет сконструировать длину $PT$ как геометрическое среднее и затем построить точки касания; обычно сложнее на практике, но полезно в теоретических задачах.
Решение через инверсию
1. Выполните инверсию с центром в $P$ и произвольным радиусом $k$.
2. Данная окружность $C(O,R)$ перейдёт в некоторую окружность $C^{\prime }$ (поскольку исходная не проходит через центр инверсии).
3. Окружность с диаметром $OP$ проходит через $P$, поэтому при инверсии она перейдёт в прямую $l$.
4. Найдите точки пересечения $A^{\prime },B^{\prime }=C^{\prime }\cap l$.
5. Инверсные образы $A^{\prime },B^{\prime }$ обратно дадут точки $T_1,T_2$ на исходной окружности — это и будут точки касания; прямые $P{T}_1,P{T}_2$ — искомые касательные.
Почему это удобно: инверсия переводит задачу «пересечение двух окружностей (одна проходит через центр)» в задачу «пересечение окружности и прямой», что обычно проще. Частные случаи (касательная одна/нет) сохраняются: если $C^{\prime }$ касается $l$, будет одна точка и т.д.
Преимущества и недостатки подходов
- Классический (диаметр $OP$):
- Плюсы: очень простой, малое число операций, легко выполняется циркулем и линейкой; прямое геометрическое обоснование.
- Минусы: чисто «локальный» приём, не даёт гибкой техники для сложных конфигураций нескольких окружностей/касающихся линий.
- Инверсия:
- Плюсы: мощный универсальный приём, сводит многие задачи с окружностями/касательными к простым (линия⟷окружность) задачам; удобна при работе с несколькими кругами, при доказательствах; даёт хорошую структурную картину (коаксиальность, полюса и т.п.).
- Минусы: технически несколько громоздка для реального построения (надо выполнить инверсию и обратную инверсию); требует понимания инверсии и навыка её выполнения циркулем и линейкой.
Итого: для однократной элементарной построки — метод с окружностью диаметра $OP$ оптимален; для более сложных задач, теоретических сведений и общих рассуждений выгоднее инверсия.