Формулировка. Пусть на двух прямых $l$ и $m$ заданы по три точки $A_1,A_2,A_3\in l$ и $B_1,B_2,B_3\in m$. Рассмотрим пересечения противоположных сторон «шестигранника» с вершинами, идущими попеременно по двум прямым:
$X=A_1{B}_2\cap A_2{B}_1,Y=A_2{B}_3\cap A_3{B}_2,Z=A_3{B}_1\cap A_1{B}_3$.
Теорема Паппа: точки $X,Y,Z$ коллинеарны.
Доказательство (координатный / проективный подход). Так как утверждение проективо-инвариантно, можно применить проективное преобразование, послав $l$ в ось $OX$ (уравнение $y=0$), а $m$ — в ось $OY$ (уравнение $x=0$). Пусть
$$A_i=(a_i,0),B_i=(0,{\beta }_i)(i=1,2,3),$$ где все числа отличны от нуля. Прямая, проходящая через $A_i$ и $B_j$, задаётся уравнением
$$\frac{x}{a_i}+\frac{y}{{\beta }_j}=1.$$ Пересечение $X=A_1{B}_2\cap A_2{B}_1$ есть решение системы
$$\{\begin{array}{l}\frac{x}{a_1}+\frac{y}{{\beta }_2}=1,\\ \frac{x}{a_2}+\frac{y}{{\beta }_1}=1.\end{array}$$ По правилу Крамера получаем (до деления на ненулевой общий знаменатель)
$$x_X=\frac{\frac{1}{{\beta }_1}-\frac{1}{{\beta }_2}}{\frac{1}{a_1{\beta }_1}-\frac{1}{a_2{\beta }_2}},y_X=\frac{\frac{1}{a_2}-\frac{1}{a_1}}{\frac{1}{a_1{\beta }_1}-\frac{1}{a_2{\beta }_2}}.$$ Аналогично для остальных точек получаем (обозначая циклически индексы по модулю 3)
$$(x_i,y_i)=\left(\frac{\frac{1}{{\beta }_i}-\frac{1}{{\beta }_{i+1}}}{\frac{1}{a_i{\beta }_i}-\frac{1}{a_{i+1}{\beta }_{i+1}}},\frac{\frac{1}{a_{i+1}}-\frac{1}{a_i}}{\frac{1}{a_i{\beta }_i}-\frac{1}{a_{i+1}{\beta }_{i+1}}}\right),i=1,2,3.$$ Домножим каждую тройку координат $(1,x_i,y_i)$ на соответствующий ненулевой знаменатель
$$d_i=\frac{1}{a_i{\beta }_i}-\frac{1}{a_{i+1}{\beta }_{i+1}}.$$ Тогда получаем три вектора строк
$$(d_i,u_i,v_i),u_i=\frac{1}{{\beta }_i}-\frac{1}{{\beta }_{i+1}},v_i=\frac{1}{a_{i+1}}-\frac{1}{a_i}.$$ Но заметим телескопические равенства
$$d_1+d_2+d_3=0,u_1+u_2+u_3=0,v_1+v_2+v_3=0.$$ Отсюда суммы строк равны нулю, значит строки линейно зависимы, следовательно определитель матрицы с этими строками равен нулю. Это эквивалентно детерминанту матрицы
(1x1y11x2y21x3y3)\begin{pmatrix}1 & x_1 & y_1\\ 1 & x_2 & y_2\\ 1 & x_3 & y_3\end{pmatrix} 111 x1 x2 x3 y1 y2 y3 равному нулю, то есть точки $X,Y,Z$ коллинеарны. Теорема доказана.
Ключевые идеи
- Проективная инвариантность: можно перенести две исходные прямые в координатные оси.
- Выражение уравнений прямых в рациональной форме $\frac{x}{a}+\frac{y}{\beta }=1$.
- Тотальная сократимость/телескопическая сумма знаменателей, приводящая к линейной зависимости строк (алгебраическая «трюк»-идея).
Геометрическая интерпретация и следствия
- Теорема утверждает, что из трёх пар соответствующих точек на двух прямых строится «Pappus‑линия», на которой лежат три пересечения противоположных рёбер циклического шестиугольника.
- Это частный (вырожденный) случай теоремы Паскаля: если шестиугольник вписан в конку, то три пересечения противоположных сторон лежат на одной прямой; Паппус соответствует случаю, когда коника вырождается в сумму двух прямых.
- В теории проективных плоскостей выполнение теоремы Паппа характерно для т.н. Pappian плоскостей и связано с коммутативностью поля координат; следовательно Паппус — важный мост между чистой геометрией и алгеброй.
Это достаточно короткое и конструктивное доказательство и интерпретация результата.