Пусть заданы три грани правильного тетраэдра, смежные в вершине $A$. Тогда их плоскости проходят через $A$ и образуют симметричный триэдральный угол; множество центров сфер, касающихся этих трёх плоскостей, есть прямая — ось этого угла (внутренний/наружный биссектор), т.е. прямая, проходящая через вершину $A$ и центроид (или центр противоположной грани).
Обозначим единичный вектор вдоль этой оси через $\mathbf{u}$. Для точки центра сферы $X=A+t\mathbf{u}$ расстояние до каждой из трёх плоскостей равно некоторой пропорции от $t$:
$$r=d(X,{\Pi }_i)=t\cdot c(i=1,2,3),$$ где постоянная $c=|n_i\cdot \mathbf{u}|$ одинакова для всех трёх граней.
Для правильного тетраэдра при длине ребра $a$ легко вычислить геометрически (или в координатах), что отношение параметров основания и высоты даёт $h/R=\sqrt{2}$, и тогда
$$c=\frac{1}{\sqrt{1+4(h/R{)}^2}}=\frac{1}{\sqrt{1+8}}=\frac{1}{3}.$$
Итак, параметризация всех таких сфер (для данного трёхгранного угла у вершины $A$):
$$\text{центр:}X(t)=A+t\mathbf{u},\text{радиус:}r(t)=\frac{t}{3},$$ где $t\in \mathbb{R}$ (для внутренних центров триэдра $t>0$; при необходимости радиус берётся по модулю $r=|t|/3$). Аналогично для каждой из четырёх вершин тетраэдра получается своя такая прямая.