Обозначения. Пусть $S=$ площадь $△ABC$. Для точки $P$ внутри положим
$$S_A=\text{пл.}△PBC,S_B=\text{пл.}△PCA,S_C=\text{пл.}△PAB.$$ Тогда всегда
$$S_A+S_B+S_C=S.$$
Связь с длинами сторон и расстояниями до сторон. Пусть $a=|BC|,b=|CA|,c=|AB|$ и $d_a,d_b,d_c$ — расстояния $P$ до сторон $BC,CA,AB$ соответственно. Тогда
$$S_A=\frac{1}{2}a{d}_a,S_B=\frac{1}{2}b{d}_b,S_C=\frac{1}{2}c{d}_c,$$ и потому
$$S_A:S_B:S_C=a{d}_a:b{d}_b:c{d}_c.$$
Барицентрические координаты. Барицентрические координаты точки $P$ относительно $△ABC$ равны
$$(S_A:S_B:S_C).$$ Отсюда сразу получаются критерии:
- Центр масс (центр тяжести, барицентр треугольника, пересечение медиан). Точка $P$ — центр тяжести $G$ тогда и только тогда, когда
$$S_A=S_B=S_C,$$ т. е. три малые площади равны (барицентрические координаты $(1:1:1)$).
- Инцентр. Инцентр $I$ (пересечение биссектрис) характеризуется равными расстояниями до сторон: $d_a=d_b=d_c$. Следовательно
$$P\text{— инцентр}⟺S_A:S_B:S_C=a:b:c.$$
- «Барицентр по площадям» (утверждение и его обратное). Для любой точки $P$ внутри треугольника, если положить в вершины $A,B,C$ массы
$$m_A=S_A,m_B=S_B,m_C=S_C,$$ то центр масс этих трёх точечных масс совпадает с $P$. Иначе говоря, любой внутренний $P$ — барицентр вершин с массами, равными площадям противоположных субтреугольников (это эквивалент определения барицентрических координат).
Некоторые полезные следствия (кратко):
$$P\in \text{медиана из}A⟺S_B=S_C.$$ $$P\in \text{биссектриса угла}A⟺\frac{S_B}{S_C}=\frac{b}{c}.$$ $$P\in BC⟺S_A=0.$$
Эти утверждения даются прямым применением формул выше и факта, что барицентрические координаты точки пропорциональны площадям противоположных треугольников.