Коротко и формально — две важные интерпретации «границы» и одно естественное определение «вершин», затем практические методы вычисления инвариантов.
Определения
- Пусть $X\subset {\mathbb{R}}^2$ — замкнутое множество, состоящее из непересекающихся простых дуг и отрезков (каждая компонента гомеоморфна отрезку).
- Топологическая граница в плоскости: ${\partial }_{{\mathbb{R}}^2}X$ — обычная граница множества в ${\mathbb{R}}^2$. Для 1‑мерного множества с пустым внутренним множеством в плоскости часто ${\partial }_{{\mathbb{R}}^2}X=\overline{X}=X$.
- Граница как граница 1‑мерного многообразия (manifold boundary): множество точек, у которых окрестность в $X$ гомеоморфна отрезку $[0,1)$. Обозначим её ${\partial }_{m}X$. Это именно набор «конечных» концов дуг/отрезков (endpoints).
- Вершины: точки $v\in X$, где локальная степень (число исходящих локальных ветвей) $\mathrm{deg}(v)\ne 2$. Частные случаи:
- $\mathrm{deg}(v)=1$ — свободный конец (вершина‑конец).
- $\mathrm{deg}(v)\ge 3$ — узловая вершина (точка сочленения нескольких кусков).
- Точки с $\mathrm{deg}(v)=2$ — внутренние точки ребра (не вершины).
(Если изначально все компоненты строго непересекающиеся и не смыкаются, то вершины — просто концы каждой дуги.)
Моделирование как графа (основная редукция)
- Отождествляем $X$ с 1‑мерным CW‑комплексом/неориентированным графом $G$: ребра — сами дуги/отрезки, вершины — ${\partial }_{m}X$ плюс любые точки соединения/пересечения (если допустить касания). Тогда все топологические инварианты вычисляются на $G$.
Основные топологические инварианты и формулы
- Число компонент связности: $b_0$ — количество компонент графа (можно получить DFS/Union‑Find).
- Эйлерова характеристика: $\chi =V-E$, где $V=|\mathrm{Vertices}|$, $E=|\mathrm{Edges}|$.
- Первая бетти‑число (число независимых циклов): $$b_1=E-V+b_0.$$ - Группа фундаментальная: ${\pi }_1(X)$ — свободная группа ранга $b_1$ (то есть свободная группа на $b_1$ образующих).
- Гомологии (целые): для 1‑комплекса единственные ненулевые группы — $H_0\cong {\mathbb{Z}}^{b_0}$, $H_1\cong {\mathbb{Z}}^{b_1}$ (при отсутствии торсионов).
Алгоритмы для конечной конфигурации
1. Выделить вершины:
- собрать все концы дуг/отрезков; если допускается совпадение/касание, добавить точки пересечения.
2. Построить граф $G$: вершины — пункты из п.1; ребро между концами каждого сегмента/дуги.
3. Вычислить компоненты связности (Union‑Find или DFS) ⇒ $b_0$.
4. Подсчитать $V$ и $E$ ⇒ вычислить $\chi =V-E$ и $b_1=E-V+b_0$.
5. По необходимости получить цикл-базис (например, поиск fundamental cycles при DFS) и представить ${\pi }_1$ как свободную группу ранга $b_1$.
6. Для точного вычисления гомологий в общих коэффициентах: собрать матрицу границ ${\partial }_1$ (ориентировать ребра), выполнить приведение к нормальной форме Смита; ранги дают структуры $H_0,H_1$.
Дополнительные замечания и расширения
- Планарная формула граней: если нужен счет граней (области в ${\mathbb{R}}^2\setminus X$), для связного планарного вложения: $$V-E+F=1$$ (внешняя грань учитывается), и число непресекательных замкнутых циклов совпадает с числом внутренних граней, равным $b_1$.
- Для числовых/шумных данных применяют persistent homology (постройка р‑нейбора или Vietoris–Rips) для стабильного обнаружения циклов.
- Если конфигурация бесконечна или содержит предельные точки, редукция к конечному графу может быть невозможна; тогда надо работать с Čech/Симплициальной гомологией или учитывать локальные предельные структуры.
Короткая инструкция «что сделать» для практической задачи:
1. Считать все куски, найти концы/точки касания → вершины.
2. Построить список рёбер (концы → концы).
3. Union‑Find → $b_0$. Подсчитать $V,E$ → $\chi ,V-E$ и $b_1$.
4. При необходимости — нормальная форма Смита для полного описания гомологий или алгоритм поиска циклов для получения базиса $H_1$ / ${\pi }_1$.
Это даёт полную и вычислимую картину топологических инвариантов для системы непересекающихся дуг и отрезков в плоскости.