Задача: среди всех прямых $l$, проходящих через заданную точку $P$ вне треугольника $ABC$, найти ту, которая минимизирует сумму перпендикулярных расстояний до вершин
$$S(l)=d(A,l)+d(B,l)+d(C,l).$$
Параметризация и условие оптимума.
- Пусть направляющий угол прямой $l$ равен $\phi$. Обозначим радиусы и направления от $P$ к вершинам:
$$r_A=|PA|,r_B=|PB|,r_C=|PC|,$$ $${\alpha }_A=\arg (PA),{\alpha }_B=\arg (PB),{\alpha }_C=\arg (PC).$$ Тогда перпендикулярное расстояние от точки $X\in \{A,B,C\}$ до $l$ равно $|r_X\cos (\phi -{\alpha }_X)|$, и
$$S(\phi )=\sum _{X\in \{A,B,C\}}|r_X\cos (\phi -{\alpha }_X)|.$$ - Функция $S(\phi )$ непрерывна и $2\pi$-периодична, поэтому минимум существует. На интервалах $\phi$, где все величины $\cos (\phi -{\alpha }_X)$ ненулевые и имеют фиксированные знаки, $S$ гладкая, и условие стационарности даёт
$$S^{\prime }(\phi )=-\sum _X{r}_X\sin (\phi -{\alpha }_X)\mathrm{sgn}(\cos (\phi -{\alpha }_X))=0.$$ Это можно интерпретировать как векторное равновесие: для найденного направления нормали $v=(\cos {\phi }_v,\sin {\phi }_v)$ (перпендикулярной $l$) существует набор знаков ${\epsilon }_X=\pm 1$ такой, что
$$\sum _X{\epsilon }_X{r}_X{u}_X=0,$$ где $u_X$ — единичные векторы, перпендикулярные $l$ и направленные от прямой в сторону соответствующей вершины (компоненты выражения эквивалентны условию $S^{\prime }(\phi )=0$).
Геометрическая конструкция (алгоритм).
1. Из точки $P$ постройте лучи к $A,B,C$; найдите углы ${\alpha }_X$ и расстояния $r_X$.
2. Рассмотрите функцию $S(\phi )$ и найдите её минимум по $\phi$. Практически:
- разбейте окружность углов на участки, разделённые значениями $\phi$ для которых $\cos (\phi -{\alpha }_X)=0$ (то есть прямые, перпендикулярные $PA,PB,PC$);
- на каждом таком участке знаки $\cos (\phi -{\alpha }_X)$ фиксированы, решите уравнение
$$\sum _X{r}_X\sin (\phi -{\alpha }_X)\mathrm{sgn}(\cos (\phi -{\alpha }_X))=0$$ (одна тригонометрическая уравнение в $\phi$); корень(и) на данном интервале даёт локальный минимум/максимум;
- среди найденных выберите глобальный минимум.
Технически это сводится к решению одного уравнения относительно $\phi$ и может быть выполнено численно или, в частных конструктивных случаях (симметрии), геометрически.
Связь с задачей Ферма.
- Классическая задача Ферма (минимизация суммы расстояний от точки до вершин треугольника) искомую точку делает внутренней или на вершине и даёт правило «углы по $120^{\circ }$» в невырожденном случае. Наша задача отличается: переменная — не точка, а прямая через фиксированную точку $P$. Формально обе задачи — минимизация суммы модулей линейных функций, и в обеих возникает условие векторного равновесия вида «сумма некоторых единичных векторов равна нулю». Но конкретное уравнение и геометрическая интерпретация отличаются: в задаче Ферма векторы направлены по отрезкам от искомой точки к вершинам; здесь векторы перпендикулярны искомой прямой и имеют длины $r_X$.
Существование и единственность решения.
- Существование: из непрерывности $S(\phi )$ на компактном множестве ($\phi \in [0,2\pi ]$) следует существование минимума.
- Единственность: в общем случае решение единственно (особенно при отсутствии симметрий). Множественность может возникнуть при симметрии конфигурации $A,B,C$ относительно некоторой прямой через $P$ — тогда симметричные направления дают одинаковое значение $S$. Также может быть нестрого выпуклый минимум: если на отрезке углов $S(\phi )$ постоянна (вырожденный случай), то множество оптимальных направлений — интервал. В частности, если при оптимальном $\phi$ для какой‑то вершины $\cos (\phi -{\alpha }_X)=0$ (то есть эта вершина лежит на прямой, перпендикулярной искомой), тогда часто наблюдается изменение знака в производной и возможна неоднозначность при специальных соотношениях $r_X$.
- Отдельно: расположение точки $P$ «вне треугольника» само по себе не убирает всех вырожденностей; ключевую роль играют относительные углы ${\alpha }_X$ и относительные длины $r_X$.
Короткая сводка.
- Решение находится минимизацией функции $S(\phi )=\sum |r_X\cos (\phi -{\alpha }_X)|$; минимум существует по непрерывности на окружности.
- Условие стационарности даёт уравнение
$$\sum _X{r}_X\sin (\phi -{\alpha }_X)\mathrm{sgn}(\cos (\phi -{\alpha }_X))=0,$$ которое геометрически означает векторное равновесие перпендикулярных к прямой составляющих.
- Связь с задачей Ферма — общая природа минимизации сумм расстояний и условие равновесия векторов; конкретные условия и геометрические правила различаются.
- Единственность обычно верна, но может нарушаться при симметриях или вырожденных соотношениях между ${\alpha }_X$ и $r_X$.