Определение (кратко). Мёбиусово преобразование на расширенной комплексной плоскости $\mathbb{C}=\mathbb{C}\cup \{\infty \}$ задаётся дробно-линейной формулой
$$f(z)=\frac{az+b}{cz+d},ad-bc\ne 0,$$ условно $f(-d/c)=\infty$, $f(\infty )=a/c$.
Утверждение. Мёбиусово преобразование переводит «обобщённые окружности» (т. е. обычные окружности и прямые) в обобщённые окружности.
Доказательства (два коротких варианта).
1) Алгебраический (через уравнение окружности). Любая окружность или прямая в комплексной плоскости задаётся уравнением
$$A|z{|}^2+Bz+\overline{B}\bar{z}+C=0,$$ где $A,C\in \mathbb{R}$, $B\in \mathbb{C}$, не все коэффициенты нулевые ($A=0$ даёт прямую). Подставим $z=f(w)=\frac{aw+b}{cw+d}$. Умножив на $|cw+d{|}^{-2}$, получим уравнение того же типа
$$\tilde{A}|w{|}^2+\tilde{B}w+\overline{\tilde{B}}\bar{w}+\tilde{C}=0,$$ с некоторыми $\tilde{A},\tilde{B},\tilde{C}$. Следовательно образ — снова окружность или прямая.
2) Геометрический (через генераторы). Любое Мёбиусово преобразование составлено из переносов, поворотов/масштабирований и инверсии $z\mapsto 1/z$. Переносы и повороты/масштабы явно переводят окружности в окружности; инверсия переводит окружности не проходящие через центр в окружности, а те, что проходят через центр — в прямые. Поэтому композиция (любое Мёбиусово) переводит окружности/прямые в окружности/прямые.
Комментарий через сферу: под стереографической проекцией Мёбиусовы преобразования соответствуют вращениям/проективным преобразованиям римановой сферы — образ любой геодезической окружности на сфере снова даёт окружность или пряму на плоскости.
Полезные следствия (кратко):
- Мёбиусово преобразование сохраняет углы (конформно) и перекладывает три заданные различныe точки в любые три другие.
- В частности можно «выпрямить» любую окружность, отправив её в прямую, или поместить три избранные точки в $\{0,1,\infty \}$.
Класс задач в проектной (синтетической) геометрии, где Мёбиус существенно упрощает решение
- Задачи о соприкосновениях окружностей (Apollonius и его обобщения): найти окружность(и), касающуюся трёх данных окружностей/прямых. Подбором Мёбиусова преобразования можно одну из данных окружностей превратить в прямую или привести две окружности в концентрические, что резко упрощает анализ касания (сводится к решению для концентрических окружностей или к касательным прямым).
- Коаксальные семейства окружностей, задачи о пересечениях и общем центре: Мёбиус переводит коаксальные системы в систему параллельных прямых или концентрических окружностей.
- Задачи о кокружности и конкуренции точек (cocircularity/concurrency): с помощью отображения, отправляющего три точки в удобные координаты $(0,1,\infty )$, проверка кокружности сводится к простому алгебраическому условию (реальность кросс-отношения).
- Проблемы, где удобно «выпрямить» границу: задачи, где одна окружность играет роль границы области (например при построениях касательных, симметрий, отражений), часто упрощаются, если эту окружность отправить в прямую.
- Задачи с угловыми условиями и инверсиями (задачи про ортогональность окружностей, описанные цепочки окружностей и т. п.) — инверсия/Мёбиус делает геометрию тривиальной за счёт превращения сложных криволинейных условий в линейные.
Короткий пример приёма (схематично). Апполониевская задача: найти окружность, касающуюся трёх данных окружностей. Выберем Мёбиусово преобразование, которое одну из заданных окружностей отправит в прямую. Тогда задача остаётся: найти окружность, касающуюся двух окружностей и одной прямой — это проще (например, сводится к задаче касательной через заданную точку после симметрии или решению квадратного уравнения для радиуса); затем применяем обратное преобразование.
Вывод (кратко). Мёбиусовы преобразования переводят окружности и прямые в окружности/прямые по алгебраическому или композиционному аргументу; в задачах проектной геометрии их стандартно используют для приведения конфигураций в канонический вид (одну окружность — в прямую, три точки — в $\{0,1,\infty \}$ и т. п.), что заметно упрощает доказательства и построения.