Формулировка (основное свойство). Серединный перпендикуляр к отрезку $AB$ — это множество всех точек, равноудалённых от $A$ и $B$. В треугольнике пересечение серединных перпендикуляров равно центру описанной окружности (единственная точка, равноудалённая от трёх вершин).
1) Доказательство через подобие/симметрию (плоская геометрия).
- Пусть $M$ — середина $AB$ и $P$ точка на серединном перпендикуляре, т.е. $PM\perp AB$. Треугольники $PMA$ и $PMB$ прямые, у них общий катет $PM$ и $AM=BM$, значит эти прямые треугольники равны, поэтому $PA=PB$.
- Обратно, если $PA=PB$, то треугольник $PAB$ равнобедренный с основанием $AB$; в равнобедренном треугольнике высота из вершины $P$ на основание $AB$ является также медианой, значит проходит через $M$ и перпендикулярна $AB$. Следовательно $P$ лежит на серединном перпендикуляре.
Коротко: равнобедренность ↔ высота = медиана → совпадение с серединным перпендикуляром. Это чисто плоский, интуитивный аргумент.
2) Доказательство векторами (умно и легко обобщается).
Пусть позиции точек заданы векторами $a,b,p$. Условие равноудалённости:
$$\Vert p-a{\Vert }^2=\Vert p-b{\Vert }^2.$$ Развернём скалярные произведения:
$$(p-a)\cdot (p-a)=(p-b)\cdot (p-b).$$ Сократив $p\cdot p$, получаем
$$-2p\cdot a+a\cdot a=-2p\cdot b+b\cdot b,$$ откуда
$$p\cdot (b-a)=\frac{1}{2}(b\cdot b-a\cdot a).$$ Это переписывается в виде
$$(p-\frac{a+b}{2})\cdot (b-a)=0,$$ то есть вектор $p-\frac{a+b}{2}$ ортогонален $b-a$: точка $p$ лежит на гиперплоскости, проходящей через середину $\frac{a+b}{2}$ и нормальной к $AB$. Это и есть (в любом измерении) серединный перпендикуляр.
Из этого также сразу следует, что пересечение серединных перпендикуляров двух сторон треугольника даёт точку, равноудалённую от всех трёх вершин (решение двух линейных уравнений на $p$) — центр описанной сферы.
3) Координатный (алгебраический) метод (прямолинейный вычислительный).
Пусть $A(x_1,y_1)$, $B(x_2,y_2)$. Условие $|PA|=|PB|$ даёт
$$(x-x_1{)}^2+(y-y_1{)}^2=(x-x_2{)}^2+(y-y_2{)}^2.$$ Раскрывая скобки и сокращая квадраты $x^2+y^2$, получаем линейное уравнение
$$2(x_2-x_1)x+2(y_2-y_1)y=x_2^2+y_2^2-(x_1^2+y_1^2),$$ которое эквивалентно
$$(x-\frac{x_1+x_2}{2})(x_2-x_1)+(y-\frac{y_1+y_2}{2})(y_2-y_1)=0,$$ т.е. прямая, проходящая через середину и перпендикулярная $AB$. Для пересечения двух таких прямых решаете систему — получается координаты центра описанной окружности.
Сравнение методов и пригодность для обобщений в $n$-мерном пространстве
- Геометрический/подобие (равнобедренность): очень наглядно в плоскости, использует свойства треугольников (высота = медиана), но не переносится прямо в размерности $>2$ (понятия «высота как медиана» и «подобие треугольников» в общем виде теряют простоту).
- Векторный / скалярно-произвольный (внутренний продукт): компактный, координатно-независимый, сразу даёт уравнение $(p-\frac{a+b}{2})\cdot (b-a)=0$. Легко обобщается на любое $n$: множество точек равноудалённых от двух точек — аффинная гиперплоскость (перпендикуляр к вектору $b-a$ через середину). Для описанных окружностей/сфер тоже работает: пересечение двух таких гиперплоскостей даёт центр описанной сферы в $n$-мерии.
- Координатный метод: эквивалентен векторному, но более «вычислительный» и громоздкий; обобщается на $n$ координат, но требует больше алгебры.
Вывод: для задач в плоскости все три метода подходят; для обобщений в $n$-мерном пространстве наиболее естественен и удобен векторный (или скалярно-произвольный) подход — он даёт чистую линейную/аффинную формулировку и легко масштабируется.