Коротко — какие свойства треугольников сохраняются под аффинными преобразованиями, какие нет, и почему это важно для формулировок теорем.
Сохраняется (инварианты афинных преобразований)
- Коллинеарность и пересечение прямых: образ прямой — прямая, потому пересечения и конфигурации «три прямые пересекаются» сохраняются.
- Параллельность: если ${\ell }_1\parallel {\ell }_2$, то $f({\ell }_1)\parallel f({\ell }_2)$.
- Отношения деления отрезка на прямой (включая середины): если $C$ делит $AB$ в отношении $\lambda =\frac{AC}{CB}$, то для образов $A^{\prime },B^{\prime },C^{\prime }$ сохраняется то же $\lambda$. В частности середина переходит в середину.
- Барицентрические отношения и теоремы, выражаемые через отношения отрезков на сторонах: классические теоремы типа Чева и Менелая инвариантны. Например Чева:
$$\frac{AF}{FB}\cdot \frac{BD}{DC}\cdot \frac{CE}{EA}=1$$ сохраняется при любом афинном $f$.
- Отношения площадей: аффинное отображение умножает все ориентированные площади на один и тот же множитель $\det A$, поэтому отношения площадей и равенства площадей сохраняются. Например, если два треугольника имели равные площади, их образы тоже имеют равные площади; отношение площадей двух фигур сохраняется.
- Коллинеарные коники (например образ окружности) — превращаются в коники (окружность → эллипс), свойства, выражаемые через принадлежность к конике, требуют замены «окружность» → «коника».
Не сохраняется (утрачивается)
- Углы и длины: общие углы $\angle$ и длины отрезков не сохраняются (если трансформация не является подобием).
- Ортогональность: перпендикулярность сторон, высоты и, следовательно, ортoцентр, не являются афинными инвариантами.
- Круги как круги: кругы в общем переходят в эллипсы; т.е. утверждения "вершины лежат на окружности" превращаются в "вершины лежат на конике".
- Свойства, зависящие от равенства углов (равнобедренность, равенство углов) и от соотношений длин в разных направлениях (например «серединный отрезок равен половине третьей стороны») в общем не выполняются после аффинного преобразования.
Примеры и контрпримеры
1) Сохранение Чева (пример)
- Пусть в треугольнике $ABC$ точки пересечения ceв находятся так, что выполняется равенство Чева. При любом афинном $f$ образы $A^{\prime },B^{\prime },C^{\prime }$ и соответствующие точки на сторонах будут удовлетворять той же формуле:
$$\frac{A^{\prime }{F}^{\prime }}{F^{\prime }{B}^{\prime }}\cdot \frac{B^{\prime }{D}^{\prime }}{D^{\prime }{C}^{\prime }}\cdot \frac{C^{\prime }{E}^{\prime }}{E^{\prime }{A}^{\prime }}=1.$$
2) Середина и средняя линия (частично сохраняется)
- Если $M$ — середина $BC$, то $M^{\prime }=f(M)$ — середина $B^{\prime }{C}^{\prime }$ (потому что отношение $BM:MC=1$ сохраняется). Следовательно, средняя линия $M_1{M}_2$ будет параллельна третьей стороне у образа. Но утверждение «средняя линия равна половине третьей стороны» может нарушиться (длины меняются анизотропно).
3) Контрпример для ортoцентра (перпендикулярности)
- Возьмём треугольник $A(0,0),B(2,0),C(0,2)$. Это прямоугольный треугольник с ортoцентром в $A$. Рассмотрим афинное отображение-сдвиг/сдвиг по $x$: матрица
$$S=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right),$$ дающее $A^{\prime }=(0,0),B^{\prime }=(2,0),C^{\prime }=(2,2)$. В образе высоты не сохраняют перпендикулярность прежних сторон: ортoцентр образа вычисляется как пересечение высот и равен $B^{\prime }=(2,0)$, а не $A^{\prime }=(0,0)$. Значит образ ортoцентра исходного треугольника не совпадает с ортoцентром образа — ортогональность не инвариантна.
4) Окружность → коника
- В равностороннем треугольнике три вершины лежат на окружности; после общего аффинного преобразования их образ лежит на некоторой конике (обычно эллипсе), но не на круге. Следовательно теоремы, которые используют конкретно «окружность» и углы вписанного угла, требуют переформулировки (например, девять точек превращаются в девятиточечную конику).
Последствия для формулировок теорем в планиметрии
- Теоремы, выражаемые через коллинеарность, параллельность, отношения отрезков на прямых, отношения площадей и барицентрические соотношения, устойчивы к аффином преобразованиям. Их можно доказывать в аффинной геометрии и переносить между треугольниками через аффинное отображение.
- Теоремы, опирающиеся на углы, равенство длин, перпендикулярность, кругообразность, подобие — не афинно-инвариантны; их либо нельзя переносить, либо нужно заменять эквивалентными утверждениями в терминах афинных инвариантов (например, «окружность» → «коника», «вписанный угол» → соответствующее свойство коники).
- Практическая польза: для доказательств часто удобно применять аффинальную нормализацию (например, преобразовать произвольный треугольник в произвольный удобный вид — равнобедренный или прямоугольный) при условии, что утверждение афинно-инвариантно; это упрощает доказательство. Но такой приём неприменим к теоремам, зависящим от углов/перпендикулярности.
Краткая сводка (инварианты / неинварианты)
- Сохраняются: коллинеарность, пересечения, параллельность, отношения на прямой (деление отрезка), барицентрические соотношения, отношения площадей, Чева, Менелай, образы окружностей — коники.
- Не сохраняются: длины, углы, перпендикулярность, окружности как круги, свойства, основанные на равенстве углов или на подобии.
Если нужно — могу привести ещё конкретные координатные примеры для других теорем (Менелай, соотношения площадей, поведение биссектрис и т.д.).