Возьмём систему координат так, чтобы центр квадрата был в начале, и стороны квадрата были параллельны осям $x,y$. Тогда вершины единичного квадрата можно взять как
$$v_1=(\frac{1}{2},\frac{1}{2},0),v_2=(-\frac{1}{2},\frac{1}{2},0),v_3=(-\frac{1}{2},-\frac{1}{2},0),v_4=(\frac{1}{2},-\frac{1}{2},0).$$ Пусть точка $X=(x,y,z)$. Сумма квадратов расстояний до вершин:
$$S(X)=\sum _{i=1}^4\Vert X-v_i{\Vert }^2=\sum _{i=1}^4((x-x_i{)}^2+(y-y_i{)}^2+z^2).$$ Раскрывая скобки и используя $\sum x_i=\sum y_i=0$ и $\sum (x_i^2+y_i^2)=4\cdot \frac{1}{2}=2$, получаем
$$S(X)=4(x^2+y^2+z^2)+2.$$ Поэтому уравнение уровня $S(X)=c$ эквивалентно
$$4(x^2+y^2+z^2)+2=c⟺x^2+y^2+z^2=\frac{c-2}{4}.$$ Вывод: геометрическое место точек — сфера с центром в центре квадрата (в начале координат) и радиусом
$$R=\sqrt{\frac{c-2}{4}}.$$ Если $c<2$ — пусто, $c=2$ — единственная точка (центр), $c>2$ — сфера радиуса $R$.
Квадратичная форма и симметрия (кратко). Запишем в матричной форме:
$$S(X)=\sum _{i=1}^4(X^{T}X-2X^T{v}_i+v_i^T{v}_i)=4X^{T}X-2(\sum _i{v}_i{)}^{T}X+\text{const}.$$ Так как ${\sum }_i{v}_i=0$ благодаря симметрии квадрата, линейный член исчезает, а матрица квадратичной формы пропорциональна тождественной $4I$. Отсюда следствие — уровни $S(X)=c$ задаются шарами радиуса, указанного выше. Общая обобщающая заметка: для любой системы из $n$ точек с центром масс в начале сумма квадратов расстояний до этих точек имеет вид $n\Vert X{\Vert }^2+$ const, и уровни — сферы.