Пусть ${\Gamma }_1=(AIC)$ и ${\Gamma }_2=(BIC)$. Точка $I$ является центром гомотетии, переводящей ${\Gamma }_1$ в ${\Gamma }_2$, тогда и только тогда, когда касательные к этим окружностям в точке $I$ совпадают (эквивалентно: центры окружностей и $I$ лежат на одной прямой).
По теореме о касательной и хорде угол между касательной в $I$ и хордой $IC$ для ${\Gamma }_1$ равен углу $\angle IAC$, а для ${\Gamma }_2$ — углу $\angle IBC$. Отсюда касательные совпадают тогда и только тогда, когда
$$\angle IAC=\angle IBC.$$ Поскольку $AI$ и $BI$ — биссектрисы углов при вершинах $A$ и $B$, имеем $\angle IAC=\frac{\angle A}{2}$ и $\angle IBC=\frac{\angle B}{2}$. Следовательно условие равносильно
$$\frac{\angle A}{2}=\frac{\angle B}{2}⟺\angle A=\angle B.$$
Итог: точка $I$ является центром гомотетии описанных окружностей треугольников $AIC$ и $BIC$ тогда и только тогда, когда $\angle A=\angle B$ (т. е. треугольник $ABC$ равнобедренный с боковыми $AC=BC$).