Краткое правило инверсии. Пусть инверсия относительно окружности с центром $O$ и радиусом $R$ переводит точку $P\ne O$ в точку $P^{\prime }$ на луче $OP$ так, что
$$OP\cdot O{P}^{\prime }=R^2.$$ При этом инверсия сохраняет величины углов между кривыми (конформно), меняя ориентацию.
Как инверсия переводит прямые и окружности:
- прямая, не проходящая через $O$, превращается в окружность, проходящую через $O$;
- прямая, проходящая через $O$, остаётся той же прямой (точки на ней переходят в точки на той же прямой);
- окружность, не проходящая через $O$, превращается в другую окружность, не проходящую через $O$;
- окружность, проходящая через $O$, превращается в прямую, не проходящую через $O$.
Предложенная задача (классическое применение инверсии)
Задача. Пусть $A,B,C,D$ — четыре различные точки. Докажите, что точки $A,B,C,D$ лежат на одной окружности тогда и только тогда, когда при инверсии с центром в $A$ (с любым радиусом) образы $B^{\prime },C^{\prime },D^{\prime }$ трёх остальных точек лежат на одной прямой.
Краткое решение (контур):
- Если $A,B,C,D$ — на одной окружности, то эта окружность проходит через центр инверсии $A$, значит по правилу инверсии она переходит в прямую; следовательно образы $B^{\prime },C^{\prime },D^{\prime }$ коллинеарны.
- Обратно, если $B^{\prime },C^{\prime },D^{\prime }$ лежат на одной прямой, то обратная инверсия переводит эту прямую в окружность, проходящую через $A$, а обратные образы $B,C,D$ лежат на этой окружности. Таким образом $A,B,C,D$ — на одной окружности.
Замечание: для явных вычислений можно использовать равенства $AB\cdot A{B}^{\prime }=R^2$, $AC\cdot A{C}^{\prime }=R^2$ и т.д., если требуется показать конкретные соотношения между расстояниями.