Обозначим три непараллельные прямые через $l_1,l_2,l_3$. Выберем нормировки так, чтобы уравнения прямых были
$$L_i(x,y)=a_{i}x+b_{i}y+c_i=0,\sqrt{a_i^2+b_i^2}=1,$$ тогда расстояние от точки $(x,y)$ до $l_i$ равно $|L_i(x,y)|$. Фиксированное значение суммы обозначим $S$. Тогда множество искомых точек задаётся уравнением
$$|L_1(x,y)|+|L_2(x,y)|+|L_3(x,y)|=S.$$
1) Разбиение на знаковые области. Прямые $l_1,l_2,l_3$ делят плоскость на 7 областей (одна ограниченная — центральный треугольник — и шесть неограниченных). В каждой области знаки выражений $L_i$ фиксированы: для некоторого набора знаков ${\epsilon }_i\in \{\pm 1\}$ имеем $|L_i|={\epsilon }_i{L}_i$. В такой области уравнение становится линейным:
$${\epsilon }_1{L}_1(x,y)+{\epsilon }_2{L}_2(x,y)+{\epsilon }_3{L}_3(x,y)=S,$$ то есть линия ${\ell }_{\epsilon }$ (в вырожденном случае коэффициенты при $x,y$ могут аннулироваться).
2) Геометрическое место. Следовательно, искомое множество — объединение пересечений этих прямых ${\ell }_{\epsilon }$ с соответствующими знаковыми областями. Каждое такое пересечение — либо пусто, либо отрезок, либо луч (внешние области), либо, в вырождении, вся область/вся прямая. В общем случае (без вырождения) оно представляет собой конечное объединение отрезков и (внешних) лучей, лежащее в разных знаковых областях.
3) Связность и число компонент. Каждое пересечение является выпуклым и потому связным; число компонент равно числу непустых таких пересечений. Так как зон знаковых комбинаций максимум 7, то число компонент не превосходит 7. Возможные случаи:
- Если $S<m$, где
$$m=\min \{\mathrm{dist}(P_{23},l_1),\mathrm{dist}(P_{31},l_2),\mathrm{dist}(P_{12},l_3)\},$$ и $P_{ij}=l_i\cap l_j$, то решений нет.
- При $S=m$ получается ровно одна точка (соответствующая одному пересечению).
- Для $S>m$ множество ненепусто; в зависимости от $S$ и расположения прямых можно получить от 1 до 7 компонент. Для общих (неграничных) положений трёх прямых и подходящего выбора $S$ достигается максимальное число компонентов 7.
- Вырожденные случаи (например, когда для некоторой комбинации знаков векторные суммы нормалей аннулируются) дают ситуацию, когда уравнение в области либо несовместно, либо тождественно выполняется; тогда возможны дополнительные неразрывные (даже бесконечные по площади) фрагменты — это частный (негенерический) случай.
Кратко: геометрическое место — объединение (не более чем 7) отрезков и лучей, каждое в своей знаковой области; число связных компонент варьирует от 0 до 7 (в общих положениях и при подходящем $S$ достигает 7).