Обозначим основания высот: $H_a$ на $BC$, $H_b$ на $CA$, $H_c$ на $AB$. Рассмотрим треугольник у вершины $A$ с основанием $H_c{H}_b$. Пусть $AB=c,AC=b,\angle A=\alpha$. Площадь $ABC$ $$S=\frac{1}{2}bc\sin \alpha .$$ Координатно (или по проекциям) получаем для площади треугольника $A{H}_c{H}_b$ $$S_A=\frac{1}{2}\cdot b\cos \alpha \cdot c\cos \alpha \cdot \sin \alpha =\frac{1}{2}bc\sin \alpha {\cos }^2\alpha =S{\cos }^2\alpha .$$ Аналогично
$$S_B=S{\cos }^2\beta ,S_C=S{\cos }^2\gamma .$$ Сумма трёх площадей равна
$$S_A+S_B+S_C=S({\cos }^2\alpha +{\cos }^2\beta +{\cos }^2\gamma ).$$ Из известной тождественности для углов треугольника
$${\cos }^2\alpha +{\cos }^2\beta +{\cos }^2\gamma +2\cos \alpha \cos \beta \cos \gamma =1$$ получаем
$${\cos }^2\alpha +{\cos }^2\beta +{\cos }^2\gamma =1-2\cos \alpha \cos \beta \cos \gamma .$$ Следовательно сумма площадей равна площади $ABC$ тогда и только тогда, когда
$${\cos }^2\alpha +{\cos }^2\beta +{\cos }^2\gamma =1⟺\cos \alpha \cos \beta \cos \gamma =0,$$ то есть ровно в том случае, когда один из косинусов равен нулю, т.е. один из углов равен $90^{\circ }$.
Итог: сумма площадей указанных треугольников равна площади $ABC$ тогда и только тогда, когда $ABC$ — прямоугольный треугольник. (Для острого треугольника сумма меньше $S$, для тупого — больше.)