Кратко сравню четыре подхода к теореме об окружности девяти точек (nine‑point circle, окружность Эйлера) для плоского треугольника: суть доказательства, ключевые формулы/идеи и педагогические преимущества/ограничения.
1) Координатный метод (декартовы координаты)
- Идея: положить вершины в удобную систему координат (например, $A(x_1,y_1),B(x_2,y_2),C(x_3,y_3)$), выписать уравнения середин сторон, высот и проверить, что эти шесть точек и три середины отрезков $AH,BH,CH$ лежат на одной окружности, вычислив центр и радиус.
- Ключевые выражения: середины $\left(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2}\right)$, уравнение окружности $(x-x_0{)}^2+(y-y_0{)}^2=r^2$.
- Преимущества для преподавания: прямой, алгоритмический, проверяемый; хорош для отработки алгебры, уравнений окружности, аналитической геометрии; легко получить конкретные формулы для центра $N$ и радиуса $r$ (например, показать $r=R/2$).
- Ограничения: громоздкие вычисления, слабая геометрическая интуиция; не показывает «почему» структурные связи (например, связь $N$ с $O,H$) очевидно.
2) Векторный (или координаты как векторы/барицентрики)
- Идея: представить вершины как векторы $\mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{c}$. Середины — $\frac{\mathbf{a}+\mathbf{b}}{2}$ и т.д.; показать, что расстояния от некоторого центра $\mathbf{n}$ до этих векторов одинаковы, вычисляя квадраты расстояний через скалярное произведение.
- Ключевые формулы: середина $\frac{\mathbf{a}+\mathbf{b}}{2}$, центр девяти точек $\mathbf{n}=\frac{\mathbf{o}+\mathbf{h}}{2}$, проверка $|\frac{\mathbf{a}+\mathbf{b}}{2}-\mathbf{n}{|}^2=$ const.
- Преимущества для преподавания: компактнее и чище, чем «сырые» координаты; использование линейной алгебры (скалярных произведений) развивает векторную интуицию; легко выводится соотношение $\mathbf{n}=(\mathbf{o}+\mathbf{h})/2$ и $r=R/2$.
- Ограничения: требуется знание векторов и скалярного произведения; менее «чисто» геометрически, чем синтетические доказательства.
3) Поворотный/комплексный (геометрия поворотов, метод комплексных чисел)
- Идея: рассматривать плоскость как комплексную плоскость (или использовать повороты на $90^{\circ }$ и симметрии). В комплексных координатах на единичной окружности удобно выражать ортогональность и диаметры; часто удобен однострочный вывод, что все требуемые точки лежат на окружности с центром $N$.
- Ключевые приёмы: отображения $z\mapsto \alpha z+\beta$ и умножение на $e^{i\theta }$ для поворотов; показать, что образы вершин относительно гомотетии/поворота лежат на одной окружности. Часто доказывают, что отображение $X\mapsto$ середина $HX$ переводит окружность $(ABC)$ в окружность $(9\text{-point})$.
- Преимущества для преподавания: компактность рассуждений, высокая наглядность поворотов и симметрий; хороша для демонстрации связей с тригонометрией и комплексным исчислением; даёт элегантные короткие доказательства, особенно если студенты знакомы с комплексами.
- Ограничения: требует базовых знаний комплексного анализа/геометрии поворотов; для начинающих может быть непривычно «алгебраическое» представление геометрии.
4) Проективно‑аффинный / синтетический метод (гомотетии, отражения, свойства конусов)
- Идея: использовать свойства гомотетий и симметрий. Классический синтетический факт: центр девяти точек $N$ — середина отрезка $OH$ (где $O$ — центр описанной, $H$ — ортоцентр), и гомотетия с центром $H$ и коэффициентом $\frac{1}{2}$ переводит описанную окружность в окружность девяти точек; это сразу даёт и равенство радиусов $r=R/2$.
- Ключевые утверждения: $N$ — середина $OH$: $\mathbf{n}=\frac{\mathbf{o}+\mathbf{h}}{2}$; гомотетия $h_{H,1/2}$ переводит $A\mapsto$ середину $AH$ и всю окружность $(ABC)$ в искомую окружность.
- Преимущества для преподавания: максимально геометрическое, демонстрирует «почему» структура существует; связывает теорему с базовыми преобразованиями (гомотетии, отражения), легко использовать в задачах с симметрией; минимально вычислений, подчёркнута роль ортoцентра и описанной окружности.
- Ограничения: требует понимания гомотетий и их свойств; проектно‑аффинные идеи (если углубляться) могут быть абстрактны для начального уровня.
Рекомендации для преподавателя
- Начинать с синтетического/гомотетичного доказательства: даёт мотивацию и интуицию (показывает $N$ — середина $OH$ и $r=R/2$).
- Затем показать векторный/координатный вариант как более формальный и проверяемый метод (удобен для домашних работ и вычислительных упражнений).
- Показать комплексный/поворотный подход студентам, знакомым с комплексами или тригонометрией, чтобы продемонстрировать элегантность и связь с поворотами.
- Координаты использовать как «проверку» и средство для получения явных формул, но не как единственный путь при изучении геометрии интуитивно.
Кратко: синтетика/гомотетия — лучшая для интуиции и объяснения «почему», вектор/координаты — для жёсткой проверки и вычислений, комплекс/повороты — для элегантных коротких доказательств и связей с алгеброй преобразований, проективно/аффинные идеи — для общих обобщений и связей с конусами.