Идея: сделать инверсию с центром в $P$. Тогда искомые окружности (каждая проходит через $P$) переходят в прямые, а заданные окружности переходят в окружности; задача сводится к построению общих касательных к двух образующихся окружностям и обратной инверсии этих прямых.
Пошаговая конструкция:
1. Выберите радиус инверсии $k$ (любой, удобно взять $k=1$). Для каждой заданной окружности с центром $C$, радиусом $r$ и расстоянием до $P$ равным $s=|PC|$ постройте её образ при инверсии: центр лежит на луче $PC$ на расстоянии
$$s^{\prime }=\frac{k^{2}s}{s^2-r^2},$$ радиус
$$r^{\prime }=\frac{k^{2}r}{s^2-r^2}.$$ (Если $s=r$, т.е. исходная окружность проходит через $P$, то её образ — прямая, перпендикулярная к $PC$.)
2. Получите две изображения $S_1^{\prime },S_2^{\prime }$ (окружности или прямые). Искомые окружности соответствуют прямым, одновременно касательным к $S_1^{\prime }$ и $S_2^{\prime }$.
3. Постройте все общие касательные к $S_1^{\prime }$ и $S_2^{\prime }$ (классическая конструкция: для двух окружностей построить внешние и внутренние касательные; если одна из них — прямая, то строите касательные к окружности, параллельные прямой или проходящие через точку касания).
4. Для каждой найденной общей касательной $l$ выполните обратную инверсию: прямая $l$, не проходящая через $P$, обратится в окружность, проходящую через $P$ и касающуюся исходных окружностей внешне — это и есть искомая окружность. (Если при инверсии какая‑то заданная окружность была прямой, обратный переход аналогичен.)
Число решений и случаи существования:
- Общее число решений равно числу общих касательных между $S_1^{\prime }$ и $S_2^{\prime }$. Пусть $R_1^{\prime },R_2^{\prime }$ — их радиусы, $D^{\prime }=|O_1^{\prime }{O}_2^{\prime }|$ — расстояние центров.
- Если $D^{\prime }>R_1^{\prime }+R_2^{\prime }$ — 4 касательных → 4 искомые окружности.
- Если $D^{\prime }=R_1^{\prime }+R_2^{\prime }$ — 3 касательных → 3 решений.
- Если $|R_1^{\prime }-R_2^{\prime }|<D^{\prime }<R_1^{\prime }+R_2^{\prime }$ — 2 касательные → 2 решения.
- Если $D^{\prime }=|R_1^{\prime }-R_2^{\prime }|$ — 1 касательная → 1 решение.
- Если $D^{\prime }<|R_1^{\prime }-R_2^{\prime }|$ — 0 касательных → нет решений.
- Специальные случаи:
- Если одна из исходных окружностей проходит через $P$, её образ — прямая; тогда число общих касательных между прямой и окружностью равно 0,1 или 2 в зависимости от взаимного положения (0 — прямая целиком внутри окружности, 1 — касание, 2 — две параллельные/разные касательные). Соответственно даются 0–2 решений.
- Если $P$ совпадает с центром какой‑либо заданной окружности и/или какая‑то формула даёт деление на ноль, следует разобрать отдельно (инверсия по другому радиусу или использовать пределы); это укладывается в перечисленные типы при корректной обработке образов.
- Выражение условий через исходные данные $C_1,C_2,r_1,r_2,d=|C_1{C}_2|,|P{C}_i|$ получается явно через формулы инверсии: вычислите $s_i=|P{C}_i|$, затем $R_i^{\prime }=\frac{k^2{r}_i}{s_i^2-r_i^2}$ и $D^{\prime }=|O_1^{\prime }{O}_2^{\prime }|$ (центры на лучах $P{C}_i$ на расстояниях $s_i^{\prime }=\frac{k^2{s}_i}{s_i^2-r_i^2}$), и примените вышеуказанные неравенства для $D^{\prime },R_1^{\prime },R_2^{\prime }$.
Итого: конструкция через инверсию даёт все решения (до 4); их число и существование определяются количеством общих касательных между образами заданных окружностей при инверсии.