Коротко — рассуждение и ответ.
Пусть у нас правильная (правильная многоугольная) правая призма с основанием — правильным $n$-угольником радиуса описанной окружности $R$, высотой $h$. Обозначим на нижнем основании вершину $A$ и соответствующую верхнюю вершину $A^{\prime }$ — боковое ребро $A{A}^{\prime }$ (вертикальное). Рассмотрим плоскость $\Pi$, проходящую через это ребро. Проекция $\Pi$ на плоскость основания — прямая, проходящая через $A$; она пересечёт границу основания в некоторой точке $C$. Пересечение плоскости $\Pi$ с призмой — четырёхугольник $ACD{A}^{\prime }$, где $C$ лежит в основании ($z=0$), а точка $D$ — точка над ней на верхнем основании ($z=h$). Тогда
- стороны параллельные основанию: $AC$ и $A^{\prime }D$ имеют одинаковую длину $L$ (это длина от $A$ до точки пересечения прямой с границей основания);
- вертикальные стороны $A{A}^{\prime }$ и $CD$ имеют длину $h$.
Следовательно пересечением является параллелограмм с соседними сторонами $h$ и $L$. Он будет ромбом тогда и только тогда, когда $h=L$. То есть условие: длина соответствующего отрезка на основании, получаемого пересечением проекции плоскости $\Pi$ с основанием, равна высоте призмы.
Частный частый случай: если прямая-проекция проходит через вершину $B$, отличную от $A$, которая отстоит от $A$ на $k$ ступеней по циклу вершин, то
$$L=\text{хорда между вершинами}A\text{и}B=2R\sin \frac{k\pi }{n}.$$ Тогда условие ромба (в этом случае ромб будет на самом деле квадрат, т.к. углы между вертикалью и основанием прямые) записывается как
$$h=2R\sin \frac{k\pi }{n}(k=1,2,\dots ,\lfloor n/2\rfloor ).$$ Соответственно длина стороны ромба (она же) равна
$$s=h=2R\sin \frac{k\pi }{n}.$$
Если вместо $R$ задана сторона основания $a$, то $a=2R\sin \frac{\pi }{n}$ и тогда
$$s=h=\frac{2a\sin \frac{k\pi }{n}}{2\sin \frac{\pi }{n}}=a\frac{\sin \frac{k\pi }{n}}{\sin \frac{\pi }{n}}.$$
Итого: плоскость через боковое ребро даёт ромб только если проекция этой плоскости на основание обрезает отрезок длины, равной высоте призмы; при типичном выборе через другую вершину условие $h=2R\sin \frac{k\pi }{n}$, а сторона ромба $s=h$.