Утверждение ложное.
Контрпример (самый простой)
- Возьмём прямоугольник со сторонами $a\ne b$. В любом прямоугольнике суммы противоположных углов равны $\pi$, т.е. условие выполняется.
- Но в вписанную окружность касательно всех четырёх сторон прямоугольника существует тогда и только тогда, когда он является квадратом. Это видно из теоремы Питота для вписанных (касательных) четырёхугольников: если окружность касательна сторонам, то длины сторон удовлетворяют
$$AB+CD=BC+DA.$$ Для прямоугольника это даёт $a+a=b+b$, т.е. $a=b$. Следовательно прямоугольник с $a\ne b$ — пример выпуклого четырёхугольника с $\angle A+\angle C=\pi$, но без вписанной окружности. Утверждение опровергнуто.
Несколько разных подходов — как доказать опровержение / понять правильный критерий
1) Прямой контрпример (приведён выше)
- Сильная сторона: максимально прост и окончателен — одно контрпримерное построение опровергает общую формулировку.
- Слабая сторона: не даёт общего понимания, при каких условиях вписанная окружность всё-таки существует.
2) Координатный (аналитический) метод на примере прямоугольника
- Возьмём прямоугольник с вершинами $(0,0),(a,0),(a,b),(0,b)$. Центр окружности, касательной всем четырём сторонам, должен иметь одинаковое расстояние $r$ до всех четырёх прямых; расстояния до горизонтальных прямых равны $y$ и $b-y$, значит $y=b-y\Rightarrow y=b/2$. Аналогично по вертикали $x=a/2$. Тогда $r=b/2$ и $r=a/2$, поэтому $a=b$.
- Сильные стороны: конструктивно показывает невозможность для $a\ne b$; легко формализуется и проверяется вычислениями.
- Слабые стороны: привязан к выбранному частному случаю (прямоугольнику); для общих четырёхугольников расчёты сложнее.
3) Теоретический подход: критерий существования вписанной окружности (теорема Питота для касательных четырёхугольников)
- Теорема: выпуклый четырёхугольник имеет вписанную окружность тогда и только тогда, когда суммы длин противоположных сторон равны:
$$AB+CD=BC+DA.$$ - Краткое доказательство необходимости: если окружность касательна сторонам в точках, то от каждой вершины к точкам касания на обе стороны отходят отрезки равной длины (касательные от одной точки к окружности равны). Складывая соответствующие равенства получаем указанную сумму.
- Краткая идея доказательства достаточности: зная, что суммы равны, можно задать в стороне $AB$ точку $X$ и в стороне $CD$ точку $Z$ так, чтобы $AX$ и $CZ$ были равны некоторой величине $s$; существует единственная окружность, касающаяся прямых $AB,BC,CD$ (или конструктивно: на пересечении биссектрис углов $B$ и $C$ строим окружность, касающуюся трёх прямых); условие сумм обеспечивает, что та же окружность касательна и четвёртой стороны $DA$. (Полное формальное доказательство обычно даётся через разбиение сторон на касательные отрезки; см. стандартные доказательства теоремы о касательном четырёхугольнике.)
- Сильные стороны: даёт необходимое и достаточное условие для существования вписанной окружности; универсально применима и конструктивна.
- Слабые стороны: не связана непосредственно с угловыми соотношениями типа $\angle A+\angle C=\pi$; требует работы с длинами или касательными отрезками.
Дополнительные замечания о взаимосвязи условий
- Условие $\angle A+\angle C=\pi$ характеризует не касательный, а описанный (циклический) четырёхугольник: оно эквивалентно существованию описанной окружности.
- Эти два свойства (цикличность и касательность) независимы: существуют циклические некасательные четырёхугольники (например, прямоугольник, не являющийся квадратом) и существуют касательные нециклические (например, неравнобедренный \"воздушный\" кайт/дельтоид с равными суммами противоположных сторон).
- Для четырёхугольника, который одновременно и циклический, и касательный, существуют дополнительные интересные отношения между сторонами и диагоналями (напр., свойства, сводящиеся к равенствам, получаемым из Птолемея и Питота), но это частный класс (вписанный и описанный одновременно называется бикругом).
Итого: исходное утверждение неверно; правильный критерий для существования вписанной окружности — равенство сумм противоположных сторон $AB+CD=BC+DA$. Контрпример (не-квадратный прямоугольник) достаточно, а для общего понимания полезно опираться на теорему Питота и на конструкции через касательные отрезки/биссектрисы.