Коротко — весь набор точек M внутри тетраэдра задаётся уравнением
$$f(M)=MA+MB-(MC+MD)=0,$$ и это (в общем случае) двумерная гладкая аналитическая поверхность, разделяющая тетраэдр на две части. Ниже — пояснения, конструкция и координатное описание.
1) Конструкция геометрическая (практическая).
Для любого числа $s\ge \max (AB,CD)$ рассмотрите эллипсоид (поверхность уровня)
$$E_{AB}(s)=\{X:XA+XB=s\}$$ и аналогично
$$E_{CD}(s)=\{X:XC+XD=s\}.$$ Тогда множества решений уравнения $MA+MB=MC+MD$ равны объединению пересечений
$$S=\bigcup _{s\ge \max (AB,CD)}(E_{AB}(s)\cap E_{CD}(s)).$$ Следовательно, практически: для ряда значений $s$ строите эллипсоиды с фокусами $A,B$ и с фокусами $C,D$ и берёте их попарные пересечения; при непрерывном изменении $s$ эти кривые образуют искомую поверхность внутри тетраэдра.
2) Координатное уравнение.
Пусть $A=(a_1,a_2,a_3),B=(b_1,b_2,b_3),C=(c_1,c_2,c_3),D=(d_1,d_2,d_3)$ и $M=(x,y,z)$. Тогда исходное уравнение записывается в виде корней:
$$\sqrt{(x-a_1{)}^2+(y-a_2{)}^2+(z-a_3{)}^2}+\sqrt{(x-b_1{)}^2+(y-b_2{)}^2+(z-b_3{)}^2}$$ $$=\sqrt{(x-c_1{)}^2+(y-c_2{)}^2+(z-c_3{)}^2}+\sqrt{(x-d_1{)}^2+(y-d_2{)}^2+(z-d_3{)}^2}.$$ Его можно последовательно возвести в квадрат дважды и тем самым избавиться от корней — в результате получается алгебраическое уравнение четвёртой степени
$$P_4(x,y,z)=0,$$ где $P_4$ — явный многочлен степени 4, вычисляемый подстановкой и последовательными преобразованиями (в общем виде запись громоздка, но алгоритмически выполнима).
3) Свойства и частные случаи.
- В общем положении множество решений — гладкая двумерная поверхность (алгебраическая четвертой степени) внутри тетраэдра; она может быть связной и отделять точки, где $f(M)>0$, от тех, где $f(M)<0$.
- Наличие решений внутри тетраэдра проверяется просто: вычислите $f$ в вершинах. Если значения в вершинах имеют разные знаки, то по непрерывности внутри тетраэдра есть ноль (уровень $0$). Возможна и ситуация, когда поверхность вообще отсутствует внутри (все значения одного знака).
- Частные симметричные случаи упрощают результат: если пара $(C,D)$ получается отражением пары $(A,B)$ относительно некоторой плоскости $P$, то вся плоскость $P$ принадлежит решению, и пересечение $P$ с тетраэдром — часть множества решений. В особых симметриях поверхность может вырождаться в плоскость или пару кривых.
4) Практическая постройка на чертеже.
- Проверьте наличие уровня внутри тетраэдра по значениям $f$ в вершинах.
- Для нескольких значений $s$ (в диапазоне, где пересечение возможно) постройте на модели сечения тетраэдра с эллипсоидами $E_{AB}(s)$ и $E_{CD}(s)$ (или в численной модели решайте уравнения в плоскостях сечений), получите кривые пересечения; изменяя $s$, восстанавливаете поверхность.
Итого: искомое множество — уровень функции $f(M)=MA+MB-MC-MD$, который в координатах задаётся радикальным уравнением, а после устранения корней даёт алгебраическую поверхность 4-й степени; геометрически — это семейство пересечений эллипсоидов с фокусами $A,B$ и с фокусами $C,D$.