Краткий ответ. Геометрическое место — эллипс (вырождено в точку при $C=0$, в окружность при прямых взаимно перпендикулярны).
Координатная интерпретация (самый простой вариант). Пусть прямые непараллельны и пересекаются в точке $P$; положим $P$ началом координат и выберем оси вдоль биссектрис угла между прямыми. Обозначим угол между прямыми через $\theta$. Тогда уравнения нормалей можно взять симметричными, и для точки $X=(x,y)$ суммы квадратов расстояний до прямых получаем
$$d_1^2+d_2^2=(x\cos \frac{\theta }{2}+y\sin \frac{\theta }{2}{)}^2+(x\cos \frac{\theta }{2}-y\sin \frac{\theta }{2}{)}^2=2(x^2{\cos }^2\frac{\theta }{2}+y^2{\sin }^2\frac{\theta }{2}).$$ Приравнивая это постоянной $C$, получаем уравнение эллипса
$$2(x^2{\cos }^2\frac{\theta }{2}+y^2{\sin }^2\frac{\theta }{2})=C,$$ откуда полуоси
$$a=\sqrt{\frac{C}{2{\cos }^2\frac{\theta }{2}}},b=\sqrt{\frac{C}{2{\sin }^2\frac{\theta }{2}}}.$$ Особый случай: $\theta =\frac{\pi }{2}\Rightarrow a=b=\sqrt{C}$ — окружность радиуса $\sqrt{C}$.
Синтетическая интерпретация. Локус — эллипс, центр которого совпадает с точкой пересечения прямых; главные оси эллипса лежат на биссектрисах угла между прямыми; величины полуосей зависят от угла между прямыми и от постоянной суммы квадратов. В общем положении (если в уравнениях прямых стоят свободные члены) после переносa координат к центру эллипса уравнение имеет вид
$$(n_1\cdot X+d_1{)}^2+(n_2\cdot X+d_2{)}^2=C,$$ где $n_1,n_2$ — единичные нормали; это положительно определённая квадратичная форма, следовательно кривая — эллипс, центр которого находится из уравнения
$$n_1(n_1\cdot X+d_1)+n_2(n_2\cdot X+d_2)=0.$$