Короткий правильный факт сразу: множество точек $P$, для которых отношение расстояний до двух фиксированных точек $F_1,F_2$ $$\frac{|P{F}_1|}{|P{F}_2|}=k>0$$ есть не эллипс, а окружность (так называемая окружность Апполония) при $k\ne 1$; при $k=1$ получается серединная перпендикулярная прямая.
Вывод и параметры окружности. Положим системе координат так, что $F_1=(-c,0),F_2=(c,0)$ и $P=(x,y)$. Условие
$$\sqrt{(x+c{)}^2+y^2}=k\sqrt{(x-c{)}^2+y^2}$$ возводим в квадрат и упорядочиваем:
$$(1-k^2)(x^2+y^2+c^2)+2c(1+k^2)x=0.$$ При $k\ne 1$ делим на $1-k^2$ и получаем уравнение окружности
$$x^2+y^2+2x\underset{=-x_0}{\left(\frac{c(1+k^2)}{1-k^2}\right)}+c^2=0,$$ откуда центр и радиус равны
$$\text{центр}(x_0,0),x_0=-\frac{c(1+k^2)}{1-k^2},r=\frac{2ck}{|1-k^2|}.$$ (При $k=1$ исходное равенство равнозначно $x=0$.)
Связь с эллипсами. Эллипс классически задаётся иначе:
- как множество точек с фиксированной суммой расстояний до двух фокусов: $|P{F}_1|+|P{F}_2|=2a$;\;
- или через фокус и директрису: для каждой точки $P$ отношение расстояния до фокуса и до соответствующей директрисы равно эксцентриситету $e<1$:
$$\frac{|PF|}{\mathrm{dist}(P,\text{директриса})}=e.$$ То есть свойство «постоянное отношение расстояний до двух фокусов» к эллипсу не относится — для эллипса отношение до двух фокусов меняется по кривой.
Проекции окружности и аффинные преобразования. Три полезных факта:
- Любой эллипс можно получить как образ единичной окружности при некотором невырожденном аффинном преобразовании $x\mapsto Ax+b$. Формально, образ круга $\{u:u^{T}u=1\}$ под $A$ даёт эллипс $\{x:x^T(A{A}^T{)}^{-1}x=1\}$.
- Центрированные конформные гомотетии/повороты сохраняют круги; аффинные растяжения превращают семейство концентрических кругов в семейство соодных (гомотетичных) эллипсов с общим центром.
- Любая (невырожденная) центральная или ортогональная проекция окружности в 3D на плоскость даёт конику; при подходящем расположении плоскости проекция круга — эллипс. Это даёт геометрическую интерпретацию: эллипс — проекция круглого сечения цилиндра/сферы и т.п.
Итого: множества с условием $\frac{|P{F}_1|}{|P{F}_2|}=k$ — окружности Апполония (не эллипсы). Эллипсы же тесно связаны с окружностями через аффинные преобразования (образы кругов) и через центральные/ортогональные проекции из трёхмерного пространства (проекции кругов дают эллипсы). Также для эллипса существует фокус–директриса характеристика с постоянным отношением расстояний, но это отношение до фокуса и до директрисы, а не до двух фокусов.