Кратко и по делу — какие понятия надо адаптировать и какие критерии их «правильности».
1) Предварительная установка: работать с ориентированной замкнутой ломаной (последовательность вершин $v_1,\dots ,v_n$, ребра $v_i{v}_{i+1}$, $v_{n+1}=v_1$) и ввести целое число «число оборотов» (winding number) $w$ относительно некоторой точки (или относительно всей ломаной). Многие определения делаются относительно этого ориентира/внутренности, заданной через winding number или через плоскую вложенную мультиобласть.
2) Углы в вершине (адаптация)
- В простом многоугольнике «внутренний угол» в вершине — это угол между входящим и выходящим ребром, взятый в меньшей из двух прилегающих полуплоскостей. Для самопересекающегося этого недостаточно: в вершине может образоваться несколько секторных «внутренних» областей.
- Рекомендуемое определение: использовать ориентированный поворот (signed turning angle) в вершине
${\tau }_i=\angle (v_i{v}_{i+1},v_{i-1}{v}_i)$ (знак по ориентации ломаной). Тогда «внутренний» угол можно связать как
${\alpha }_i=\pi -{\tau }_i$ (signed). Сумма подписанных внутренних углов даёт общую формулу
$$\sum _{i=1}^n{\alpha }_i=(n-2w)\pi ,$$ где $w$ — winding number (при простом многоугольнике $w=1$ и получаем классическую формулу). Этот подход сохраняет инвариантность при мелких деформациях и согласуется с ориентированием.
3) Диагонали (адаптация)
- Стандартная диагональ — отрезок между невьющимися соседними вершинами. Для самопересекающегося нужно ввести понятие «допустимая диагональ»:
- как отрезок между двумя вершинами, не совпадающий с ребром,
- который (a) не пересекает ломаную в точках, отличных от концов, или (b) пересекает ломаную только в точках, причём пересечения приводят к заранее установленной комбинаторике (например, остаётся в одной связной компоненте выбранной «внутренности»).
- Альтернатива: рассматривать диагональ как геодезическую в пространстве ломаной (коротчайший путь по графу/вложению), либо как хорду относительно выбранной области «внутри» (определённой по winding number): диагональ допустима, если её внутренние точки принадлежат внутренней области (по winding number не нулевой).
4) Вписанная и описанная окружности (адаптация)
- «Вписанная окружность» (incircle) редко существует глобально для самопересекающегося. Два подхода:
- Локальный: инкруга для каждой локальной ячейки/фасетки полученного планарного графа (каждая простая компонентa планарного разбиения имеет свою инкругу по обычному определению).
- Глобальный (рекомендуемый для метрических задач): максимальный круг, содержащийся в выбранной внутренней области (по winding number) и касающийся границы хотя бы в двух (лучше трёх) точках; либо оптимизация: найти круг, максимизирующий радиус при условии принадлежности внутренней области.
- «Описанная окружность» (circumcircle): можно определить как окружность, проходящая через все вершины (если такие существуют), либо как окружность, проходящая через выбранную подмножество вершин (три неколлинеарных дают уникальную). Для самопересекающегося полезно рассматривать описанные окружности компонент или «локальные» описанные окружности для звездовых блоков. Критерий — согласованность с геометрией и существование/единственность в интересующих задачах.
5) Сумма углов и топологические формулы
- Формула с winding number (см. пункт 2) — основная корректная замена $(n-2)\pi$.
- Подписанные углы и суммирование по ориентации позволяют корректно вычислять соотношения, сохраняющиеся при самопересечениях.
6) Дополнительные метрические конструкции и замены
- Площадь: использовать «подписанную» формулу Гаусса/shoelace; результат совпадает с алгебраической площадью, связанной с winding number и слагаемыми от перекрытий.
- Видимость/длина диагоналей: считать часть диагонали «внутренней» если её точки имеют ненулевой winding number, либо разбивать ломаную в планарный граф и работать с его гранями.
7) Критерии «правильности» адаптаций (чему должны удовлетворять определения)
- Согласованность: при отсутствии самопересечений определения совпадают со стандартными.
- Инвариантность: устойчивость относительно мелких деформаций вершин (не скачкообразные изменения).
- Топологическая корректность: используют натуральный топологический параметр — winding number или разбиение на грани планарного графа.
- Вычислимость: понятие должно быть алгоритмически проверяемо (определяемо по вершинам/ребрам).
- Уникальность/экзистенция: условия существования и критерии уникальности (например, инкруга может не существовать — тогда возвращать «нет» или искать максимальную).
- Полезность: определения должны сохранять или давать аналоги ключевых метрических соотношений (формула для суммы углов, связь между радиусами и расстояниями, формулы площади).
8) Практические рекомендации
- Для задач длины/площади/отношений лучше работать с подписанными величинами (signed angles, signed area).
- Для локальных вопросов (касание, вписанность) разбивать полигон в планарный граф и работать с отдельными простыми компонентами.
- Для глобальных задач использовать winding number как главный дополнительный параметр: например, суммарный угол $\sum {\alpha }_i=(n-2w)\pi$.
Если нужно, могу привести короткие примеры (пентagrama, ломаной с $w=2$) и показать численные проверки формулы для суммы углов и площади.