Уточнение (неявное в задаче). Предполагаем, что медиана и высота исходят из одного и того же вершины $A$: $AM$ — медиана на сторону $BC$, $AH$ — высота на ту же сторону, и задан угол $\phi =\angle (MAH)$, длины $AM=m$ и $AH=h$.
Условие существования. Пусть взять систему координат так, что $A=(0,0)$, $H=(0,-h)$, прямая $BC$ — горизонтальная $y=-h$, а $M=(x,-h)$. Тогда
$$|AM|=m=\sqrt{x^2+h^2},\cos \phi =\frac{AH\cdot AM}{|AH||AM|}=\frac{h^2}{hm}=\frac{h}{m}.$$ Отсюда необходимые и достаточные условия существования невырожденного треугольника:
$$m>h\text{и}\cos \phi =\frac{h}{m}.$$ Если $m=h$, то $x=0$, $M=H$ и получается вырожденный случай ($B=C$). Если $\cos \phi \ne h/m$, решений нет.
Алгоритм построения (циркуль и линейка). Везде — простые постройки отрезков, перпендикуляров, окружностей и симметрии.
1. Проверьте числовое условие $\cos \phi =\frac{h}{m}$ и $m\ge h$. Если не выполняется — решения нет (кроме вырожденного при $m=h$).
2. Постройте точку $A$ и отложите от неё на луче выбранного направления отрезок $AH$ длины $h$.
3. Через $H$ проведите прямую $l$ перпендикулярную к $AH$ (это будет прямая, содержащая сторону $BC$).
4. Постройте окружность с центром в $A$ радиуса $m$. Пересечения этой окружности с прямой $l$ дают точки $M_1,M_2$ (их может быть две, одну или ноль). Ноль — нет решения; одна (касание) — вырожденный случай $m=h$; две — два положения $M$ симметрично относительно $AH$.
5. Выберите одно из $M_i$. Любую точку $B$ на прямой $l$ (не совпадающую с $M$) отразите через $M$ получив $C$ (постройте симметрию точки относительно точки $M$, т.е. отложите на прямой $l$ отрезок $MB$ с другой стороны). Тогда $M$ — середина $BC$, $AH$ — перпендикуляр к $BC$, $AM=m$, $AH=h$ и $\angle (MAH)=\phi$, поэтому треугольник $ABC$ — искомый.
6. При выборе другого положения $M$ (вторая точка пересечения) получаете симметричный треугольник. При фиксированном $M$ при разных выборах точки $B$ на прямой $l$ получаете разные (неравные по размерам) треугольники — таким образом решений бесконечно много (параметр — полудлина $MB$).
Краткое обоснование множества решений. Точки $A,H,M$ фиксируются при допустимых данных; прямая $BC$ и середина $M$ фиксированы, но концы $B,C$ на этой прямой определяются лишь условием симметрии относительно $M$, то есть остаётся один параметр (половина длины $BC$). Поэтому при существующем сочетании $m,h,\phi$ бесконечное множество неравных треугольников (плюс выбор двух симметричных положений $M$); с точностью до зеркального отражения можно сказать «семейство» решений.