Кратко — две «школы» дают одно и то же утверждение (максимум при прямом угле), но различаются интуицией, инструментарием и дополнительными выводами.
Синтетический подход (построение высоты)
- Ключевая идея: площадь $S$ равна полупроизведению двух заданных сторон на высоту к одной из них, или через угол между ними: $S=\frac{1}{2}ab\sin \theta$.
- Доказательство: заметим, что $\sin \theta \le 1$, следовательно максимум достигается при $\sin \theta =1$, т.е. при $\theta =\frac{\pi }{2}$. Значит максимальная площадь $S_{\max }=\frac{1}{2}ab$.
- Что даёт дополнительно:
- Простая конструкция и геометрическая интерпретация — вершина третьей стороны должна образовывать прямой угол с двумя фиксированными сторонами (наглядность).
- Лёгкое получение границ: минимальная площадь $0$ (вырождение при коллинеарности), связь с теоремой Фалеса/диаметром окружности при соответствующих вариантах задачи.
- Подходит для школьных задач — быстрый и эстетичный аргумент без исчислений.
Аналитический подход (координаты и оптимизация)
- Размещение в координатах: пусть одна сторона вдоль оси $x$, другая задана длиной и углом $\theta$; тогда
$$S(\theta )=\frac{1}{2}ab\sin \theta .$$ Можно продифференцировать:
$$S^{\prime }(\theta )=\frac{1}{2}ab\cos \theta ,S^{\prime }(\theta )=0\Rightarrow \theta =\frac{\pi }{2},$$ и вторым производным проверить максимум. Аналогно: в векторной форме $S=\frac{1}{2}\Vert u\times v\Vert$ — максимум при $u\perp v$.
- Что даёт дополнительно:
- Чёткая проверка экстремума (первый/второй производные) и строгая уникальность максимума.
- Явные зависимости: закон косинусов $c^2=a^2+b^2-2ab\cos \theta$; при оптимуме $c^2=a^2+b^2$ (т. е. максимума достигает тупо или прямоугольное соотношение для третьей стороны).
- Оценка чувствительности: разложение около максимума, например
$$\sin (\frac{\pi }{2}+\epsilon )=1-\frac{{\epsilon }^2}{2}+O({\epsilon }^4),$$ даёт квадратичное убывание площади при малом отклонении.
- Лёгкое обобщение и гибкость: метод Лагранжа для дополнительных ограничений (зафиксирован периметр, фиксированная третья сторона и т. п.), перенос векторных формул в пространственные задачи, работа с несимметричными целевыми функциями и численные расчёты.
- Возможность получать явные выражения, оценки и сравнения (например, как изменится максимум при изменении $a$ или $b$).
Сравнение и выводы
- Синтетика: быстрее, наглядна, даёт конструктивное геометрическое понимание; ограничена для сложных обобщений.
- Аналитика: формальна, даёт строгую проверку экстремума, оценку чувствительности, возможность дополнительных условий и обобщений (векторы, многомерность, Лагранж); требует вычислений.
- В обеих подходах основной дополнительный результат — максимальная площадь $S_{\max }=\frac{1}{2}ab$, достигаемая при $\theta =\frac{\pi }{2}$; аналитика даёт больше количественной информации и более простые пути к обобщениям.