Ответ: точно все равнобедренные треугольники (включая равносторонние). Доказательство.
Обозначим $O,H,I$ — соответственно центр описанной окружности, ортoцентр и центр вписанной окружности треугольника $ABC$. Пусть эти три точки лежат на одной прямой $l$.
1) Рассмотрим отражение $\sigma$ относительно прямой $l$. Поскольку $O\in l$, отражение $\sigma$ сохраняет описанную окружность (ее центр лежит на оси отражения), следовательно $\sigma$ переводит окружность и множество точек $\{A,B,C\}$ в собой (образ каждой вершины лежит на той же окружности). Точки $\sigma (A),\sigma (B),\sigma (C)$ дают некоторый треугольник $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$, вписанный в ту же окружность.
2) Так как $H\in l$, то $\sigma (H)=H$. Но $H$ — ортoцентр треугольника $ABC$, и ортoцентр определяется однозначно через три вершины: он есть пересечение высот. Отображение $\sigma$ переводит высоты треугольника $ABC$ в высоты треугольника $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$, поэтому $H$ — также ортoцентр треугольника $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$. То есть треугольники $ABC$ и $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ вписаны в одну окружность и имеют один и тот же ортoцентр.
3) Отображение $\sigma$ является инволюцией (отражение двухкратно = тождество), значит как перестановка вершин оно либо тождественно, либо является транспозицией (обменом двух вершин). Транспозиция соответствует ситуации, когда $\sigma$ меняет местами две вершины треугольника и фиксирует третью; тождественность означает, что все три вершины лежат на оси симметрии $l$ (тогда треугольник центра симметрии по $l$ — равнобедренный). В любом случае в результате некоторой перестановки по $\sigma$ две вершины взаимно соответствуют друг другу, т.е. треугольник имеет ось симметрии $l$ и, следовательно, равнобедренен.
(Нельзя получить цикл из трёх вершин, так как отражение — перестановка порядка $2$.)
4) Обратное утверждение очевидно: если треугольник равнобедренный (ось симметрии через вершину $A$), то $O$ лежит на этой оси (симметрия сохраняет окружность), $H$ лежит на этой оси (высоты симметричны) и $I$ лежит на этой оси (биссектриса вершины совпадает с осью симметрии). Значит $O,I,H$ коллинеарны.
Следовательно условие «$O,H,I$ лежат на одной прямой» равносильно тому, что треугольник равнобедренный.